Harriots Lehrsatz. 
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Harriots Lehrsatz. 
und keine Gleichung hat Zeichenwech 
sel sondern nur Folgen. 
2. Hat nun eine Gleichung eine posi 
tive und eine negative Wurzel, so ist 
fx = (x — «)(* + a) = x 2 =f (« — a) x — fl« = 0 
Je nachdem « > oder < a, ist das Mit 
telglied — oder +; in beiden Fällen fin 
det eine Zeichenfolge und ein Zeichen 
wechsel statt. 
3. Hat eine Gleichung eine positive 
und 2 negative Wurzeln, ist also 
fx = (x — «) («-(-a) (#+6) = (x—ß)(a; 2 -f Ax-\- B) 
zzx 3 ±(A — «).T 3 ±(ß — kä)x — aB — 0 
Die Zeichenreihen sind folgender Art 
möglich: 
1, + + + - 
2, + + -- 
3, + - + - 
4, + — — — 
In der ersten, zweiten und vierten Form 
hat die Gleichung nur einen Wechsel, 
in der dritten Form dagegen 3 Wechsel; 
es müfsten demnach in der Gleichung 
von der Form 
x 3 — Ax 3 -\-Bx — C=0 
3 positive Wurzeln möglich sein; und da 
dies, wie die 3 zu Grunde liegenden Fac- 
toren fx — «)(* + a)fx — b) ergeben, nicht 
möglich ist, so hat die Gleichung offen 
bar 2 nicht reelle (s. Fourier No 8) und 
nur eine positive Wurzel. 
Dafs übrigens bei 3 positiven reellen 
Wurzeln die 3te Zeichenfolge nicht ein- 
treten kann geht aus folgendem hervor: 
Die aus den 3 Factoren hervorgehende 
Gleichung würde sein 
x 3 —(a — a— b) x 2 -\- [a2>—«(a-fi)] x—a ab = 0 
Es müfste also sein: 
1, « > a + b 
2, ab > « (a + b) 
Setzt man in No. 2 für « den kleine 
ren Werth a + b aus 1, so hat man 
ab > (a -f- 6) 2 
welches unmöglich ist. 
4. Hat eine Gleichung 2 positive und 
eine negative Wurzel, ist also 
fx=(x — a)(x — ß) (x -f a) 
= a: 3 (« Aß—a) x 2 ± [a/i—a («+/S)J«Aaßa 
=x 3 ^Ax 2 dcBx + C 
so sind hier wieder der Form nach fol 
gende 4 Zeichenreihen möglich: 
1. + - + + 
2, + - - + 
3> + + + + 
4, + + - + 
Die dritte Zeichenfolge ist wieder der 
Natur der obigen Gleichungsbildung ent 
gegengesetzt, sie kann auch niemals 
existiren. Denn es würde sein: 
a > « + ß 
aß > a (u A ß) 
woraus aß > (« + /?) 2 
welches unmöglich ist. 
Die übrigen möglichen 3 Zeichenfolgen 
haben jede 2 Zeichenwechsel und eine 
Zeichenfolge für 2 positive und eine ne 
gative Wurzel, wie es der Lehrsatz aus 
spricht. 
5. Kann man nun beweisen, dafs wenn 
eine Gleichung m positive und n—m ne 
gative, also überhaupt n Wurzeln hat, 
eine hinzukommende positive Wurzel 
einen Zeichenwechsel und eine hinzu 
kommende negative Wurzel eine Zeichen 
folge mehr gibt, so ist mit Hülfe der 
voranstehenden Sätze der Harriotsche 
Lehrsatz erwiesen. 
Jede vollständige Gleichung hat ein 
Glied mehr als die Anzahl ihrer Wur 
zeln beträgt. Die gegebene Gleichung 
von n Wurzeln hat also n ■+- 1 Glieder 
und durch eine neu hinzukommende po 
sitive oder negative Wurzel erhält sie 
n -f 2 Glieder. 
Um die Aenderung dev Vorzeichen durch 
das Hinzukommen eines neuen Factors 
(x ± a) zu erfahren, hat man in der ge 
gebenen Gleichung nur 2 auf einander 
folgende Glieder zu betrachten. 
1. Das Hinzutreten einer nega 
tiven Wurzel. 
1. Es seien die beiden letzten Glieder 
der gegebenen Gleichung mit einer Zei 
chenfolge 
±Mx±N 
Diese multiplicirt mit dem Factor (x -f «) 
für eine negative Wurzel entsteht 
± Mx 2 ±(MaA N)x±aN 
Aus einer Zeichenfolge entsteht dem 
nach durch Hinzutritt einer negativen 
Wurzel niemals ein Wechsel, so viele 
Folgen also den beiden letzten Gliedern 
voranstehen, so viele Folgen sind ge 
blieben. Aus der letzten Folge der bei 
den letzten Glieder werden zwei Folgen. 
2. Die beiden letzten Glieder enthal 
ten einen Wechsel 
± Mx =f N 
so entsteht mit dem Factor (x -f a) 
± Mx 2 ±fMa — N)x^zaN 
Also entweder 
-f- Mx 2 -f (Ma — l\)x — aN 
Jedes der beiden Vorzeichen des Mit