I 
sm‘cp 
hieraus a 2 c, 2 sm *cp = a- 
oder a, c, sin p = ac (51) 
D. h. das Product zweier coordi- 
nirter Halbmesser in den Sinus 
des von i hnen gebildeten Winkels 
ist constant, also gleich dem Pro 
duct der beiden halben coordi- 
nirten Axen. 
Nun ist MD ■= n,; LS = 2c, Z MDS = cp 
folglich a, • c, • sin cp = A MLS 
Es ist alsojedesAwie MLS zwi 
schen den beiden Asymptoten und 
einer Tangente constant = dem 
Axendreieck 2xMEN, oder wenn 
man NE bis N' in MX verlängert 
denkt = dem A MNN’. 
15. Aus Formel 46 und 48 erhält man 
16. Die Hyperbel ist eine Kegelschnitts 
linie und es kommtauch dieser, wie der 
Parabel und der Ellipse ein Brennpunkt, 
oder vielmehr: es kommen den beiden 
zusammengehörenden Hyperbeln auch 2 
zusammengehörige Brennpunkte zu. Die 
ser Gegenstand ist in dem Wörterbuch 
schon behandelt in den Art. „Brenn 
punkt der Hyperbel, Brennpunkte 
der Kegelschnitte“. In diesem letz 
ten Aufsatz: die Brennpunkte der Hy 
perbel in No. 3, pag. 423 bis No. 6, pag. 
425, mit Fig. 258 und 259. 
Das Wesentlichste hiervon mit Bezug 
auf Fig. 719 zusammengestellt ist fol 
gendes : 
E,E’ sind die Scheitel beider zusam- 
Fiü- 719. 
2 2 _ a 2 c- — n* sm *r] 
c, 
c* cos 
C‘ COS ~l] — a 2 sin 2 rj 
(52) 
Schreibt man für a 2 c 2 den Werth 
a 2 e 2 sin 2 t] + a 2 c 2 cos 2 y, addirt und re- 
ducirt, so erhält man: 
a 3 -c 2 = a 2 -c 2 (53) 
D. h. die Differenz der Quadrate 
je z weier coordinirten Halbmesser 
ist constant und = der Differenz 
der Quadrate beider halben Axen. 
BE M TE\B 
mengehörigen Hyperbeln, M deren Mit 
telpunkt, ME = ME’ = a. Zur Bestim 
mung der Brennpunkte B,B’ ist 
MB = MB' = y ME 2 + NE 2 rr y a 2 -{■ c 2 = e= MN 
(ME, NE, MN s. Fig. 718). 
MB = MB’ = MN = e heilst dieExcen- 
tricität der Hyperbel. 
Zwei gerade Linien von beiden Brenn 
punkten nach irgend einem Hyperbel 
punkt D, nämlich BD und B'D heifsen 
zusammengehörige Brennstrah 
len, und es ist jedesmal deren Differenz 
B’D - BD - EE’ = 2a (54) 
Ist DT die Tangente in D, so ist 
Z BDT= Z B'DT (56) 
Ist u die Abscisse für den Punkt D 
MG Fig. 718) so ist 
(57) 
oder 
woraus 
also 
a :c=u:GU 
gu=E u 
a 
(GU) 2 =~n 2 
Es ist aber GD 2 = y 2 = — h t u 2 _ a 2) 
a‘ 
daher 
GU 2 — y 2 = 
B’D=— + a 
BD = 
(58) 
17. Verlängert man eine Ordinate bis 
zur Asymptote, wie GD bis U, so ist 
überall 
GU 3 ~ GD 2 constant = EN 2 = c 3 (59) 
Denn es ist ME : EN = MG : GU 
18. Zieht man aus einem Hyperbel 
punkt D eine grade Linie DV bis zur 
nächsten Asymptote =}= mit der zweiten 
Asymptote MX, so ist MV x DV con 
stant und zwar wenn EZ ebenfalls =}= MX: 
MV x DV = MZ x EZ = {e 2 
Um zuerst zu beweisen, dafs MZx EZ 
= Je 2 hat man 
da EZ MX 
Z ZjME — z ZEM 
daher MZ = EZ 
und 
MZxEZ= MZ 2 = (iMN) 2 - j (a 2 +c 2 ) = je 2