Hyperbel. 
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Hyperbel. 
Bezeichnet man DV mit v, MV mit a Nun ist UG = MUsin d = (z + v) sind 
so ist, da A UDV t»A NEZ und wenn man von V auf DU eine Nor 
und ’ EZ = NZ male sich denkt, 
auch DV=UV UD = 2UVsin d = 2v sin d 
also MU = M V-\- UV= a -f v mithin DG =UG —U D = (a — ») sin d 
Hieraus UG 2 — DG 2 = [(a + r) 2 — (a - r) 2 ] sin 2 J' = 4ar sin 2 J 
EA 72 c 2 
oder nach Formel 59 c 2 = 4zr sin 2 J = 4zr • — 2 = 4at> • 
woraus zv = je* 
und folglich 
MVxDV = Z'V = [e 2 (CO) Setzt man (Fig. 718) EG = x, DG = y, 
Man nennt je 2 die Potenz der Hy- so ist Bogen ED = k 
perbel und die Gleichung a • v = {e 2 die und Bogen ED 
Gleichung der Hyperbel zwischen f \ , c 4 /a + aA 2 
ihren Asymptoten. y ) ^ 
19. Rectification der Hyperbel. * ~ 
Die allgemeine Rectificationsformel, Bd. II. _ / j 
pag. 191 ist: 
-/i'.*© 
c^ 
Nun ist y 1 ~ —5 (2aa: -f x 2 ) 
f! & 
. . , C 2 (U + x)- 
1 + -2 • 2^+V 2 °* 
dx + C 
Diese Formel ist nicht zu integriren. 
Nimmt man dagegen Formel 15 
V 2 = Ti (m 2 “ « 2 ) 
daher 
also 
8 y _ c 2 a + x 
8« a 2 y 
, , 8 y 
so hat man c ~ = 
UM 
c 2 u 
a 2 y 
/ 
^ = l/l + ± 4 .Ji 2 = 
8u 
n* 2/ 
1 + 
ä _ i/(a 2 +c 2 )u 2 -« 4 
a 2 “ y a 2 
« 2 - 
a 2 + c 2 
i 2 (« 2 - a 2 ) 
\L 
a 2 -f c 
2 X l 7 « 2 
Diese Formel ist nur zu integriren, wenn man die Wurzel im Zähler in eine 
Reihe auflöst. Setzt man zur Vereinfachung 
/ ']/u 2 — n 2 a 2 
n l/w 2 — a 2 
a 2 -f- c‘ 
= n 2 so ist 
v- 
Man entwickelt die Reihe aus dem Zähler durch directe successive Wurzel - 
ausziehung und erhält 
V «*"—«*«* u 1 if2 ß2 1*1 m 4 « 4 1 • 1 ■ 3 n 6 a 6 1 • 1 • 3 • 5 n 8 a a 
W m —“ 2^4 ’ m 3 ~ 2.4* 6 
2*4-6.8 
Man hat demnach 
1 m8m na 2 8m n 3 a 4 8m m 5 a 6 8« 
n »J j/m 2 — a 2 m|/« 2 —n 2 8,y M' 1 |'m 2 — a 2 1^/ w °[ m 2 —«* 
Nun ist 
/^= = I4TTP 
ß/ |/m 2 — a 2 
/ ■* 8m l w 
—- = — arc see — 
m V M 2 — a 2 n a 
/ "* 8m , ]/m 2 — a 2 , 1 m 
—- - = i -—5—» H —; arc sec — 
w 3 j/«*-a a a u 2(1 a