Hyperbel. 
273 Hyperbel. 
23. Multiplicirt man Zähler und Nen 
ner in 
log . gj/_+ c + x ) _ ay + c (« + x) 
° ac 
so entsteht 
c 2 (a + ar) 2 — a 2 y 2 
ac [c (rt + x) — ay] 
Schreibt man für (a + x) 2 den Werth 
u“ y so hat man den Zähler 
r 2 u 2 — ß 2 i/ 2 — c 2 m 2 — ß 2 • T-ö (w 2 — « 2 ) = a 2 c 2 
Folglich nach Formel 69 
Eben&DEZ V = \ac log • — 
(70) 
Mithin hat man den log in 65 
Setzt man in Formel 70 für v den 
e 2 
Werth aus Formel 60 = { • — so hat man 
noch 
EbeneDEZV = %ac log • — 
27. Es ist a — e cos d 
c — e sin J (s. No. 16) 
(71) 
% 
= log 
ac [c(«-t-:r) — ay] c (at + x) — ay 
hieraus 
Mithin 
und 
Ebene MDE = ±ac ln 
£ac = %e 2 sind •cosS=^e 2 sin 2(1 
2z 
Ebene DEZV = ^e 2 sin 2d• Zog- 
(72) 
(66) 
Bei der gleichseitigen Hyperbel 
c{a-\- x) — ay 
24. Ist (Fig. 719) ß der Brennpunkt, ^ = • 
also MB = e, und denkt man sich zu /1 Man hat demnach für diese 
die Ordinate DG und die Linie DM -wie 
Fig. 718, 
so ist A MDB — Sect. MDE = Ebene EDB 
oder 
ay -f c (n+.-r)) 
Ebene DEZV■ 
l 2 7 2z 
|e 2 log — 
(73) 
Ebene EDB — \ey—\acln 
ac 
ac 
(67) 
Diese Eigenschaft der gleichseitigen 
Hyperbel, dafs die Ebenen zwischen der 
Asymptote und der hyperbolischen Linie 
nur durch den natürlichen Logarithmus 
der Abscissen und die Excentricität der 
Hyperbel als Constante bestimmt werden 
ist der Grund, dafs die natürlichen 
Logarithmen auch hyperbolische 
Logarithmen genannt werden. 
28. Es sei Z die eine, z eine zweite 
von M aus auf die Asymptote genom- 
&MDV:&MEZ = DVxMV=EZxMZ mene AbsClsse ’ so lst jj er Flachenraum 
woraus &MDV = & MEZ (68) für die erste = ¿e 2 ln — 
beides von Ebene MEDV = MEDV ( e 
bleibt Ebene MDE = Ebene DEZV (69) für die zweite =e 2 ln ‘~ 
26. Diese Ebene ÖEZ V läfst sich auch , T ,. , . e 
durch die Linien DF = t und MV = z ( * er Unterschied ist 
(s. Formel 60) ausdrücken: — ' e~( 
Es ist nämlich 4 \ 
= \eii — kac ln —; 7 1 
c(a-\-x)—ay) 
25. Aus No. 18 hat man 
DVxMV=EZxMZ 
Da nun in den beiden Dreiecken MDV 
und MEZ die Winkel bei V und Z ein 
ander gleich, sind so ist 
ln — - ln —) 
e e ) 
) = ¿e 2 ln 
Z 
(74) 
oder 
woraus 
Nun ist 
DU=GU-y= 
GU : GM = EN : EM 
GU : a -f x = c : a 
GU = — (a + x) 
(a+x)-y = 
Da nun zugleich 
DU :DV=EN :EZ 
oder DU : v = c : 4e 
Ist demnach das Verhältnifs Z : z als 
eine constante Grölse gegeben, so ist 
2 
auch ln— constant und die Unter- 
z 
schiede je zweier Flächenräume 
_ c(a-\-x)-ay für dasselbe Verhältnifs zweier 
beliebiger Abscissen sind einan 
der gleich. 
29. Besti mmu n g der Umdrehu ngs- 
flächen. 
so ist DU = — = a l 
e a 
Hiermit Formel 66 verbunden gibt 
Ebene MDE = 4 ac loa • — 
a 2v 
Bd. II., pag. 194 steht die allgemeine 
Formel für rechtwinklige Coordinaten 
F = 2n fy]/ 
1 + 
0 
+ C 
Legt man Formel 15 zu Grunde 
III. 
18