Hyperbel. 
276 Hyperbeln höherer Art. 
0 = [ — 8ce -f 4 (a 2 — c 2 ) ln [8c (c + e)] — 4e 2 Z» [2c (c + e)] + C 
Also vollständig und durch x ausgedrückt: 
F- 
nac 
8e* 
Gn 
8c x 2 
«KHO + 4 («* - „•) ln e ~- 4 ( “ ! - c!) *" ■+ e! 4 w 
+ 4e 2 Zn 
8c (c + e) a; 2 
4a? 2 — (a 2 - c 2 ) + j/fFj 
2c (c + e) 
W bedeutet e 4 — 8 (a 2 — c 2 ) a; 2 + 16a; 4 
Für die gleichseitige Hyperbel ist a = c, e — a y2, demnach 
. H IIn* 
F 
'=M 
2 V2 - + 2 ln 2 ^ + t /V + 4x4 
(77) 
(78) 
« 2 (1 + ]/2) J 
32. Cubatur der Hyperbel. 
Der hyperbolische Körper, welcher durch die Umdrehung der Ebene DEG um 
die Axe entsteht, ist nach der Bd. II , pag. 195 aufgestellten allgemeinen Cuba- 
turformel 
K — nfy 2 &x 
-■/£ 
(2 ax -f a; 2 ) dx = n -j [f2ax 9a; -f fx 2 9a;] 
= n -j («* 2 + s« 3 ) + C 
(t* 
wo die Constante fortfällt. 
c 2 
mithin K • Jn ^2 a; 2 (3a + x) (79) 
33. Die Ebene VMED drehe sich um die Asymptote ML-, dann ist, wenn 
MV — x, DV = y genommen wird: 
K = 7if[y sin (2d)] 2 &x 
Nach No. 31 ist sin (2d) — 
V = i 
mithin K = n f a -4 ■ A «> o» A* = _î • Îl’+ C 
Je* x i 4 J x* 4a; 
Für x = MZ — %e wird K=Q, mithin vollständig 
na 2 c 2 ^ na 2 c 2 _ a 2 c 2 2a;—e 
4a; 2e 4e a; 
oder wenn man a; = — schreibt: 
4 y 
a i c' 2 
K = 7i~ i ( e ~2y) (80) 
Für y = 0 ist a;=oo, also für ein un 
endliches x ist als Maximalgrenze 
K= 77 
2e 
(81) 
Hyperbeln höherer Art. 
Aus der Gleichung für die gemeine 
Hyperbel (Hyp. erster Art) 
y* = < ~i(2ax + x 2 ) 
kann die allgemeine Form abgeleitet wer 
den: 
ay 2 = bx (c -f x) 
Eine Hyperbel höherer Art ist diejenige, 
welcher die Gleichung entspricht: 
ay m+n = bx m 0c + x) n 
Vergleiche den Art. „Curven, IV, 
Linien dritter und höherer Ord 
nungen“ u. s. w., pag. 184. 
Die Hyperbel erster Art heilst zum 
Unterschiede von den anderen A pol Io 
nische Hyperbel (Vergl. „Apollo 
nische Parabel“). 
Wenn bei der gemeinen Hyperbel die 
Asymptote Abscisse ist, so ist (s. „Hy 
perbel No. 18, Formel 60) die Coordi- 
natengleichung xy — \e. 2 
In dieser Beziehung hat man höhere 
Hyperbeln von den Gleichungsformen 
in.n _ „min 
X y = d ö 
Es ist xy 2 — ab 2 eine Hyperbel 2ter Art ;