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= 1ä 3 ]/3 = 0,433 0127 x k 2 
= i'ö (5 - K5) Ä 2 l'3 = 0,478 7270 x Ä 3 
= f (7 - 3 +5) r 3 j/3 - 0,758 1084 X r 3 
= tV(3 + P5)A* =2,181 6950 xä 3 
= j«A r • A 3 i'oi 2 -L- • co< 2 60° • coi 3 36° = ijA 3 J/10 + 2 }'5 = 2,536 1509 X A 3 
= 10 (7 - 31/5) r 3 »/3 = 0,505 4056 xr 3 
Ikosaedralzahlen sind diejenigen der 
5 Polyedralzahlen, deren zu Grunde lie 
gendes Polyeder das Ikosaeder ist. Der 
Zusammenhang der Zahlen mit dem Iko 
saeder ist derselbe wie der zwischen den 
Dodekaedralzahlen (s. d.) und dem Dode 
kaeder: 
Die erste I. ist = 1; das Ikosaeder hat 
12 fünfflächige Ecken, die zweite Zahl 
ist also =12. Verlängert man je 5 zu 
einer Ecke gehörige Dreieckskanten (wie 
Fig. 565, pag. 320) Aa um die gleiche 
Länge ab und bildet das neue Ikosaeder, 
so erhält man zu den schon vorhande- 
Fig. 721. 
nen 12 Eckpunkten noch 11 neue Eck 
punkte b, b, weil der 12te A schon ge 
zählt ist. Von den 30 Kanten haben 
schon die 5 Kanten Ab den Mittelpunkt 
a, die übrigen 25 neue Kanten bb er 
halten die 25 Mittelpunkte c, es sind 
also 11 Eckpunkte und 25 Kantenpunkte, 
zusammen 36 Punkte und die dritte Zahl 
ist 12 + 36 = 48. 
Verlängert man wieder jede der 5 Kan 
ten Ab um die Länge bd = Aa, bildet 
das neue Ikosaeder, so kommen wieder 
11 neue Eckpunkte hinzu, die 5 Kanten 
Ad haben bereits die 2 Mittelpunkte a, b, 
die übrigen 25 Kanten erhalten jede 2 
mittlere Punkte e, e, es kommen also 
hinzu 50 Kantenpunkte. Die 5 Dreiecks 
flächen Add haben bereits jede den Mit 
telpunkt c, die übrigen 15 Dreiecksflächen 
erhalten also jede einen Punkt, zusam 
men 15 Flächenpunkte; mithin kommen 
hinzu 11 Eckpunkte, 50 Kantenpunkte, 
15 Flächenpunkte, zusammen 76 Punkte 
und die vierte Zahl ist 124. 
Wird wieder verlängert so kommen 
hinzu 11 Eckpunkte, + 3 x 25 Kanten 
punkte + 3x15 Flächenpunkte, in Summa 
131 Punkte und die 5te Zahl ist 255. 
Bei abermaliger Verlängerung kommen 
hinzu 11 Eckpunkte + 4 x 25 Kanten 
punkte + 6 x 15 Flächenpunkte, zusam 
men 201 Punkte und die 6te Zahl ist 
456. 
Die Differenzen zwischen den Zahlen 
erhält man aus folgender Reihe vierter 
Ordnung in der ersten Differenzenreihe 
0) 1 • 12 • 48 • 124 - 255-456 £n(5n 2 -5n + 2) 
>1 4(15n 2 — 25» + 12) 
36 
76 
131 
40 
55 
15 
15 
15 
Ikositetraeder, (Trapezoeder, Leu- und 24 kürzer sind; 26 Ecken. Von die- 
citoeder) hat 24 gleiche Trapezoidflä- sen werden 6 von 4 gröfseren Kanten (<*), 
chen; 48 Kanten, von denen 24 länger 8 von 3 kleineren (b) und 12 von 2 grö-