Imaginäre Gröfsen. 
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Imaginäre Gröfsen, 
(a + bi) (« — bi) = a 2 + b 2 (3) 
a A bi _(a A bi) 2 __ « 2 — 6 2 2«6 i 
a — bi a 2 + 6 2 a 2 + 6 2 ^ a 2 + ^ 
Es sind also die Summe und das Pro 
duct zweier imaginärer conjugirter Aus 
drücke reell, die Differenz und der Quo 
tient derselben sind imaginär. 
5. Die imaginäre Gröfse A±Bi läfst 
sich in ein Product verwandeln; denn 
es ist allgemein 
(a ± bi) (a ± ßi) = au — bß ± (aß -f ab) i 
Ein Product zweier imaginären Grö- 
fsen, jede von der Form A ± Bi ist hier 
mit durch einfache Multiplication in eine 
Gröfse von derselben Form A± Bi um 
gewandelt worden. Man miifste dagegen 
bei specieller Anwendung 4 unbekannte 
Gröfsen a, b, a, ß entwickeln, wenn der 
rechts stehende Theil zur Verwandlung 
gegeben wäre. 
Dagegen hat man dieselbe Umwand 
lung mit Hülfe trigonometrischer Func 
tionen einfacher: 
Schreibt man nämlich sin cp±i cos cp, 
so hat dieser Ausdruck die Form der ge 
gebenen imaginären Gröfse, und wenn 
A<1 und B < 1, so kann man A = sin cp 
und B - cos cp setzen. Sind dagegen A 
und B einzeln gröfser als 1, so ist ganz 
allgemein zu setzen 
A ± Bi — o (sin cp ± i cos cp) (l) 
wo n eine bestimmte Zahl ist. 
Für die links gegebene imaginäre Gröfse 
ist also immer das rechts befindliche Pro 
duct zu setzen, wenn es für weitere Ent 
wickelungen von Nutzen ist, und man 
nennt p den Modul und (si?t cp ±i cos cp) 
den reducirten Ausdruck. 
Für die Reduction hat man 
B — n cos cp 
hieraus A 2 + B 2 = q 2 
und q = ]/A 2 + B- (2) 
A A 
hiernach sin cp = —■ = ——— (3) 
Q 1/A 2 + B* 
A B B 
und cos cp — — = (4) 
Q \/A 2 + B 2 
Desgleichen kann man die Gleichung 
zu Grunde legen 
A ± Bi = Q (cos cp ± i sin cp) 
Alsdann bleibt n = \/~A 2 + B 2 (5) 
B B 
sm cp = — = (6) 
Q }/A 2 + B 2 
A A 
cos cp = • = 
Q ]/A 2 + B 2 
Im ersten Fall hat man 
(7) 
Are l sin = \ = ¿ rc ( cos _ \ — n-, 
\ \'A 2 AB 2 ) \ ]/A 2 +T 2 / * w 
Im zweiten Fall 
Are lcos = \ = Are (sin = -—— \ = cp 19) 
l )/A 2 AB 2 ) \ ]/A 2 + B 2 / 
Da \ r Ä 2 A B 2 immer >A und > B so ist in jedem besonderen Fall cp zu be 
stimmen und wird niemals unmöglich. 
6. Es ist (4 ± Bi) ± (A 1 ± B'i) ± (A" ± B"i) ± ... 
= (A ± A’ ± A" + ...) ± (B + B’ + B" + ...) i 
Es kann mithin jede algebraische Summe der imaginären Gröfsen von der 
Form A ± Bi auf dieselbe Form A±Bi gebracht werden. 
7. Es ist. (A ± Bi) (A 1 ± B’i) (A” ± B"i) 
= Q (cos cp ± Ì sin cp) • p' (cos cp' ± i sin cp') • q" (cos cp"± i sin cp").... 
= (>•(>' • (l" ... (cos cp±i sin cp) (cos cp’dzisin Cp') (COS Cp" ± i SUI lp") . ... 
— p • (>’ • {>”... [cos (cp A (f 1 A <p" + •••) ± i sin (cp A cp' A qp" ••••)] 
Producte der imaginàren Grofsen A±Bi lassen sich also auf dieselbe Form 
A ± Bi bringen. 
^ A A Bi _ p (cos cp + i sin cp) 
A' A B'i p' (cos cp' + i sin cp') 
_ (cos cp Ai sin cp) (cos cp>' — i sin cp') 
</ (cos Cp' A i sin cp') (cos cp’ — i sin Cp’) 
_ p (cos cp + i sin cp) (cos cp’ — i sin Cp') 
Q 1 cos 2 cp' -f- sin 2 cp' 
-^-•[cos (cp-(p')Aisin(cp- cp')] 
8.