Integral. 
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Integral. 
so ist der rechts befindliche Ausdruck 
das Differenzial von x in Beziehung auf 
die Urveränderliche y und man erhält x 
durch y ausgedrückt mit der Forde- 
rung : 
Es ist 
y 
a-\-x 
Bay 
*y 
a 
Baz 
= ö 
hieraus ist gegenseitig: 
fm nb z"- 1 («+ bz n ') m ~ x Bz= (a + bz u ) m 
In dieser Form ist aber eine Integral 
formel als Normalformel nicht aufzustel 
len : Man hat den Coefficient mnb fortzu 
schaffen und tn statt m — 1 zu setzen. 
Alsdann erhält man eine Normalformel 
fz n ~ l («+ bz") m Bz = ( a -± bz " )m+ t 
mnb 
oder 
fz n (a+ bzBi = Ç a + b * ‘ +1 ) m+1 
Es ist also fa = dem Product aus a 
in die Veränderliche = ax, auch = ay, 
auch = az u. s. w. 
Es ist mithin die Hinzufügung der Ur- 
veränderlichen unerläfslich und die For 
derungen werden geschrieben: 
fa Bx; fa By, fa Bz. 
2. Das Integriren ist dem Differenziren 
so entgegengesetzt wie das Dividiren dem 
Multipliciren. Denn wie das Einsineins 
aus dem Einmaleins unmittelbar sich er 
gibt, wie z. B. aus dem Satz: 6 mal 7 
ist 42 sofort der Satz hervorgeht 7 in 
42 geht 6mal, so geht unmittelbar aus 
der Differenzialformel (104) 
9 sin x 
—~ = cos x 
ox 
die Integralformel hervor: 
fcos x • Bx = sin x 
Aus der Differenzialformel (105) 
9 cos x 
—5- = — sin x 
Behufs der Zusammenstellung von ge 
ordneten Integralformeln und um mit 
Hülfe dieser wieder Integrale von Func 
tionen anderer Form ableiten zu können 
mufs demnach ein wissenschaftlich be 
gründetes Verfahren angewendet werden 
können. 
Der Inbegriff der Regeln, nach wel 
chen die Integrale aus gegebenen Diffe 
renzialen entwickelt werden, heilst die 
Integralrechnung. Diese zerfällt wie 
die Differenzialrechnung in die Lehre vom 
Integriren algebraischer und transcenden- 
ter h'unctionen; erstere wieder in die ra 
tionaler und irrationaler, ganzer und ge 
brochener Functionen. Ferner wird un 
terschieden das Integriren gesonderter 
und ungesonderter Functionen, der Func 
tionen mit einer und mit mehreren ver 
änderlichen Gröfsen. 
3. Constanten der Integrale. 
Es ist 
Bax 
B^ = a 
Die Integralformel 
/— sin x Bx = cos x 
Wie man in geordneter Tabelle Diffe 
renzialformeln zusammenstellt, um diese 
für Fälle, wo Differenziale von Functionen 
ähnlicher Form zu bestimmen sind, als 
Fundamentalformeln zu benutzen, so ge 
schieht dies auch mit den Integralfor 
meln. 
Es ist aber nicht angemessen, Formell] 
für negative Functionen aufzustellen, 
und da 
9 (— cos x) 9 cos x 
ö» ~ ~ ~~Bx ~ SlH * 
so hat man die Integralformel und zwar 
eine Hauptfundamentalformel 
fsin x • 9a; = — cos x 
Die Differenzialformel (65) ist 
9 (ax -f b) 
Bx = a 
Demnach ist fa- Bx = ax 
und dasselbe fa-Bx — ax-\-b 
Ueberhaupt ist fa-Bx entweder = ax 
oder ax -f einer constanten Gröfse, 
so dafs die vielen Integrale /«alle 
durch constante Gröfsen von ein 
ander unterschieden sind. 
Es fragt sich nun, ob eine Function 
mehrere Integrale haben kann, deren Un 
terschied nicht nur constant ist, sondern 
der auch in einer Function der Verän 
derlichen bestehen kann. D. h. ob zwei 
und mehrere verschiedene Functionen 
derselben Urveränderlichen ein und das 
selbe Differenzial haben können. 
Um dies zu untersuchen seien 
y — cfx und z = fx zwei verschiedene Func 
tionen von x, deren Differenziale einan 
der gleich, also