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Elastische Linie. 
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Elastische Linie. 
sich daselbst eine blofse Unterstützung, 
die Linie über A hinaus verlängert und 
in der Entfernung AG — 1 ein Gewicht 
R angebracht, welches mit der Befesti 
gung in A dieselbe Wirkung auf die 
Linie ausübt; ferner setze man die Wi 
derstände, welche die Unterstützungen 
A und B den Vertikalpressungen ent 
gegensetzen = Q, Q'. 
Nimmt man wieder für den beliebigen 
Punkt II die Ordinaten AF und FH = x 
und y, setzt den Krümmungshalbmesser 
der Linie in H = r, so ist nach I, Glei 
chung 2 das Moment mit welchem der 
Bogen AH in H der Biegung widersteht 
E 
= — und dies ist offenbar im Gleichge 
wicht mit den Momenten der Kräfte Q 
und R in Beziehung auf den Punkt F, 
d. h. es ist 
— = Qx — R (x + 1) (1) 
Nun ist zugleich 
1 xR = aP-cQ’ (2) 
und Q + Q' = P+R (3) 
woraus Q = P («-f 1) — Q’ (c + 1) (4) 
Substituirt man diese Werthe von Q 
und P in Gl. 1, so erhält man 
- = (x-a)P-(x-c) Q’ (5) 
_E^--(x 
Qx* 
a) P - (x — c) Q' 
oder E - (a — x) P - (c - x) Q’ 
diese Gleichung integrirt gibt 
E ö=<“ 
E|y=(ax-±x*)P-(cx-ix*)Q’ (7) 
wicht R einzuführen ist. Es seien für 
den Punkt IV die Ordinaten BF' und 
H'F' = x l und y l ; der Krümmungshalb- 
E 
messer für H’ = p, so ist — das Moment, 
mit welchem der Bogen RH' in 11' der 
Biegung widersteht und dieser ist im 
Gleichgewicht mit dem alleinigen Mo 
ment von Q' in Beziehung auf F' also 
mit 0' • x L . Man hat demnach 
y-“ £ 8i?- e ** 
woraus integrirt 
^A = iQ'x l * + C 
0) 
— E 
Oa;, 
(10) 
Zur Bestimmung der Constante hat 
man nicht wie ad 1 für den Punkt A die 
Tangente für den Punkt B in AB bele 
gen, man mufs vielmehr wie in der Un 
tersuchung II. auf den Punkt C zurück 
gehen. Bezeichnet man hier den Winkel 
zwischen der Tangente in C und AB für 
den Anfangspunkt B der Abscissen mit a 
so ist dessen trigonometrische Tangente, 
wenn für x t der Werth c — a gesetzt 
wird, 
Man hat also 
- Etg a = ±Q’(c- a)*+C (11) 
von dieser die Gleichung 10 abgezogen 
gibt 
Nach No. II, Formel 3 für r den Nähe 
rungswerth —gesetzt, entsteht 
“ Qx* 
Epigee- = ¿0’ [x* - (c-a)*] (12) 
(6) 
Noch einmal integrirt entsteht 
E(xi ip«-y l ) = |0'[ia; l 3 -(c-a) 2 a; l ](13) 
wo die Constante fortfällt, weil für =0 
auch y! = 0 wird. 
Um diese Gleichung für den Bogen 
BH' wie die für den Bogen AII ohne 
Hülfe von ty n zu erhalten hat man für 
Gl. 7, wenn man x = a setzt, 
Qy 
indem die Constante fortfällt, weil für 
a; = 0 die Tangente in dem Punkt A in 
die Abscissenlinie AB fällt, mit AB also 
den /_ - 0 bildet, dessen trigonometrische 
Tangente ^ also ebenfalls = 0 ist. 
Gleichung 7 noch einmal integrirt gibt 
die Gleichung für den Bogen All 
Ey = (\ax* — ¿-# 3 ) P— (\cx* — L* 3 ) Q' (8) 
wo ebenfalls die Constante fortfällt weil 
für x = 0 auch y = 0 wird. 
2. Die Gestalt eines Bogens BH' von 
dem zweiten Endpunkt B ab genommen, 
wird eine andere, weil hier keine Befesti 
gung statt findet und mithin kein Ge- 
9a; 
= tg ( L 80° — «) = — lg ce 
also —Etgct = ka*P — (ac — %a*)Q’ (14) 
Diese Gleichung mit x t multiplicirt, 
Gleichung 13 addirt und entgegengesetzte 
Vorzeichen genommen gibt die Gleichung 
für den Bogen BH' 
Ey' = — £o 2 x, P+(ic«a; 1 -*a; 1 3)(?' (15) 
3. Setzt man, wie in II, 3, die Ordi 
nate CD = b, so erhält man aus Gleichung 
8 die Gleichung für den Bogen AC wenn 
man darin x = a setzt, und aus Gleichung 
14 die Gleichung für den Bogen BC wenn 
man x^—ic—a) setzt. Man erhält 
die Gleichung für AC: 
Eb = )ta*P-la*(Zc-a)Q' (16) 
Eli 
die Gleichung 
Setzt man l 
ander gleich, ! 
Q’ = \ 
und aus Gleic 
oder 
Der gröfste 
kann ist — c, 
in B aufgehä 
a — c auch für 
Schreibt ma 
so entsteht au 
Für x = 0 a 
-— negativ, 
folglich ist in 
nie entgegeng 
erhaben. 
Wächst abe 
gröfser und es 
wenn beide Gl 
werden also fi 
Für dieses 
Punkt der Li 
ist ein Wen 
ab wächst — 
E 
x — a wo 
r 
kleinsten wird 
E 
und r in C = 
Aus Gleicht 
also für den I 
F 2