Integralformeln. 
369 
Integralformeln. 
Formel 268. 
fx" 9a; _ r 
J (Inx) 2 J 
(e” +1 )* 9* 
Nach Formel 242 
(e” +1 )* , ln (e"+ l 
i - )f(‘" 
9j 
+ (» + !) 
ß‘~ 
+1 ) S 
9s 
Das letzte Integral nach No. 69, For 
mel 70. 
Trigonometrische Functionen. 
XXXXIII. Formel 269 bis 276 ge 
hen unmittelbar aus No. 76 bis 82 mit 
Formel 86 bis 93 hervor. 
XXXXIY. bis LIV. die allgemeinen 
Formeln sind entwickelt No. 84 bis 95 
mit den Formeln 95 bis 106. 
LY. Formel 363 wird entwickelt aus 
LVII. Formel 373, weenn man n = 1 und 
m = n setzt. 
LYI. Formel 368 desgleichen aus 
LVIII. Formel 377 mit derselben Aen- 
derung. 
LYII. Formel 373. 
Es ist fx" sin m x dx =fx"~~ X sin m ~ 1 x • 9 (fxsinx 9a;) 
=fx"~ X sin 7 ” - " 1 9 (— x cos x + sin a;) 
= x"~ 1 sin 7 ” —1 a; (— x cos x + sin x) — /9 (x"~ 1 sin ’"~ X x) (— x cos x + sin x) 8a? 
= — X" cos x sin "~ 1 x -f- x n 1 sin m x 
—f(tn — 1) x n ~ 1 sin m ~‘ i x cos x (— x cos x + sin x) 9a; 
— fln — 1) x"~ 2 sin m ~ 1 x (— x cos a; + sin x) 9a; 
— — x n cos x sin m ~ X x + x 1l ~ 1 sin m x 
(m — 1 )fx" sin m ~ 2 x cos a a; 9a; — (in — 1 )fx" 1 sin 7 ‘ 
, »i—2 
l x cos x Bx 
+ (n — 1 )fx sin m x cos x 9a; — (n — 1) fx n * sin m x 9a; 
= — x" cos x sin m ~ X x -f x ll ~ x sin m x + (n — m)fx"~ X sin m ~ X x cos x 9a; 
— (n — 1 )fx" sin m x 9a; -f (in — 1) fx n sin m ~ 2 x dx — (in — 1) fx" sin m x 9a; 
Mithin das letzte I auf die linke Seite gebracht 
m fx" sin m x 9a; = — x" cos x sin m ~~ X x x n ~ X sin m x 
+ (n — m)fx n ~ 1 sin ” l ~~ 1 cos x dx — (n — l)/a;”~ 2 x sin m x 9a; 
+ (in — 1) fx" sin m ~"x dx 
Nun ist das erste I rechts 
(« — m)fx n 1 sin m cos x 9a; = ■ 
fx" 1 9 sin m x 
11—1 
= -- x"- 1 sin m x - n -— fsin m x dx 
in m 
= 5^5 *»-> sin »* - 8 * 
in in 
Diesen Werth statt des ersten I eingesetzt und reducirt gibt 
m fx" sin m x 9a; = — x" cos x • sin m ~ X x + — x"~ 1 sin x -f (?n — l)fx" sin m ~ 2 x dx 
m 
(n Vl) (n 1) ^ ti — 2 • »I * 
fx sm x ox 
in J 
Mit in dividirt ergibt Formel 373. 
LVIII. Formel 377 wird auf demselben Wege wie Formel 373 entwickelt. 
LIX. Formel 381 A und B. 
Es ist f— — = fsin ~"x • cos ~~ m x dx =fsin ~ n x cos x • cos ~ m ~ X x 9a; 
J sin "x • cos n, x 
—»i—l 
-»i-l 
»¡—1„ —»4-1 
; _ n _|_ -fS cos m 9 (**» 
— n -f- 1 
-»4-1 
x) 
cos ~ x sin " +1 x—fsin U+X x 9 (cos m x x) 
— n + 1 
x sm 
— m — 1 
— n+1 
fsin 
-»4-2 
dx 
III. 
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