Integralformeln. 
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Integralgleichung. 
also Formel 381 A. 
-1 1 m+ 1 r dx 
n 1 sin "~ 1 X • cos " ,4_1 X n ~ 1./ sin X • OOS m 4-2 X 
Formel 381 B. 
—— = fsin ~ n ~^x • cos ~ m x • sin x dx 
sin n x • cos m x 
= — fsin 1 a? • 8 (cos —m4-1 cc) 
— mff-1 
= ——- sin~ , ‘~ 1 x • cos —1m+1 x — fcos _ " l+1 8 (sin ~* n ' 1 x) 
m — 1 m — 1 
= _1_ sin -»-1* . cos ~" ,+1 a: + ?L±— /cos ~ n ' 4 - 2 sin “ " " 2 8a: 
w — 1 m — ]/ 
also Formel 381 B. 
_ 1 1 Mff-1/* 8a? 
>n 1 s i n & . cos ”*~~^ar wl t,/ sin" 4 ** cos'"~ 2 
Integralgleichung ist eine Gleichung, 
die durch die Integrirung einer Differen 
zialgleichung entsteht. 
Die in diesen Artikel gehörende Auf 
gabe ist allgemein: Eine gegebene Diffe 
renzialgleichung zu integriren; oder was 
dasselbe ist: aus einer gegebenen Diffe 
renzialgleichung die derselben zugehörige 
Stammfunction zu finden. 
Aus der Gleichung 
y 2 = 2(tX ff- x 2 
geht die Differenzialgleichung hervor 
V Oj/ = (« ff- #) 9a: 
Diese Gleichung wiederum integrirt 
■\iß = ax ff- ffa? 2 
oder iß = 2ax ff- aff 
So einfach wie diese Gleichung ist jede 
andere Differenzialgleichung zu integriren, 
in welcher jede einzelne der beiden Func 
tionen blofs mit ihrer Urveränderlichen 
und mit Constanten verbunden ist; vor 
ausgesetzt, dafs jede Function selbst in- 
tegrabel ist. Man sagt von solcher Glei 
chung: die veränderlichen Gröfsen 
in derselben seien gesondert. 
cpx • fx • dx ff- Fy • dy = 0 
ist eine Differenzialgleichung mit geson 
derten Yeränderlichen. 
.<p( x >y)y + F(x)y = 0 
ist eine Differenzialgleichung mit unge 
sonderten Veränderlichen, und es ist be 
hufs der Auffindung der ihr zugehörigen 
Integralgleichung die erste Aufgabe, dafs 
die Veränderlichen gesondert werden. 
Differenzialgleichungen, in welchen die 
höchsten Potenzen beider Yeränderlichen 
gleiche Exponenten haben heifsen gleich 
artig, sonst ungleichartig. 
Eine Differenzialgleichung ist vom 
ersten Grade, wenn dx und 8y nur 
im ersten Grade Vorkommen; sie ist vom 
wten Grade, wenn (9.r)" und (dy) : ‘ 
darin enthalten sind 
Eine Differenzialgleichung ist von der 
ersten Ordnung wenn nur erste Dif 
ferenziale Vorkommen, von der »iten 
8"v 
Ordnung wenn —- darin vorkommt. 
8 8a:“ 
axy 8y ff- bx dx ff- cx dy = 0 
ist eine Differenzialgleichung von der 
ersten Ordnung und dem ersten Grade. 
y 2 (81/) 2 ff- 2xy dy • 8# ff- (x 2 — iß) (dx) 2 = 0 
8« 
ist in Bezug auf eine Gleichung vom 
zweiten Grade und von der ersten Ord 
nung 
d 2 y ff- (ax 3 ff- by 2 ) 8a: 2 
0 , 
ist wegen g—j eine Gleichung der zweiten 
Ordnung und vom ersten Grade, da das 
höchste Differenzial vom ersten Grade ist. 
2. Eine gleichartige Differenzialglei 
chung mit ungesonderten Veränderlichen 
läfst für die Sonderung derselben ein ein 
faches Verfahren zu. 
Sind cp (x,y) und f(x,y) von der Form, 
dafs jede in 2 Factoren zu zerlegen ist, 
von welchen der eine Factor eine Func 
tion von x, der andere eine Function von 
y ist, so geschieht deren Sonderung durch 
Division. 
Als cp (x,y)dx = f (x,y) dy (1) 
und cp (x,y) = A'xI; f (x,y) = X’ X I" 
wo X, X’ Functionen von x, Y, Y' Func 
tionen von y sind; dann hat man aus 
IxF8a:=Ax Y'xdy