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also potenzirt die Ganze A über die an 
gefügte um das Quadrat einer ihr in 
Länge commensurabelen Linie — A. und 
n 
die Ganze A ist eine Rationallinie. 
50. Die zweite Apotome zu fin 
den (Satz 87). 
Nimm zwei Quadratzahlen n 2 , ni 2 , deren 
Differenz keine Quadratzahl ist; ferner 
eine Rationallinie A, setze 
i 2 = Ä 2 : X 2 
so ist X~A = A V-f- 
V n 2 — i 
und L = A 1/ —s 5 — A die zweite Apo- 
' n 2 — 
tome. 
Denn die Linie L ist nach No. 40 eine 
Apotome; ferner ist 
D. h. die ganze Linie A J, 
tenzirt über die angefügte A um das 
Quadrat einer der ersten in Länge com 
mensurabelen Linie ii I/-5——- und die 
angefügte Linie A ist rational. 
51. Die dritte Apotome zu fin 
den (Satz 88). 
Nimm zwei Quadratzahlen n 2 , m 2 , de 
ren Differenz n 2 — m 2 keine Quadratzahl 
ist, ferner eine dritte Zahl p, die weder 
mit n noch mit m noch mit n 2 — m 2 in 
dem Verhältnifs einer Quadratzahl steht, 
A sei eine Rationalzahl. Setze 
p : n 2 = A 2 : X 2 
Apotome. Ferner ist 
1 j yi 2 
D. h. die ganze Linie A 1/ — poten- 
*| } 1$ 'fift 
zirt über die angefügte A 1/ um 
’ P 
das Quadrat einer der ersten in Länge 
commenAirabele Linie weder 
die ganze noch die angefügte Linie ist 
rational. 
52. Die vierte Apotome zu fin 
den (Satz 89). 
Nimm zwei Zahlen, die keine Quadrat 
zahlen sind, deren Summe aber eine 
Quadratzahl ist: n 2 + nm und m 2 + nm. 
Setze n 2 + mn : n 2 = A 2 : X 2 
so ist L = A — X= A — A l/—y— [die 
r « + m 
gesuchte vierte Apotome. 
Denn die Linie L ist nach No. 40 eine 
Apotome. Ferner ist A 2 — j/--” 
= (a]/—) . D. h. die Ganze A po- 
tenzirt über die Angefügte ^A |/—^ j 
um das Quadrat der Linie A]/ , einer 
’ n -j- m 
der Ganzen incommensurabelen Linie, 
und die Ganze A ist eine Rationallinie. 
53. Die fünfte Apotome zu fin 
den (Satz 90). 
Nimm 2 Quadratzahlen n 2 , m 2 , deren 
Summe m 2 + n 2 keine Quadratzahl ist. 
Setze n 2 : n 2 + m 2 = A 2 : X 2 
und es ist L = X — A = A — A 
die fünfte Apotome. 
Denn nach No. 40 ist L eine Apotome; 
ferner ist 
D. h. die Ganze potenzirt über die An 
gefügte um das Quadrat einer der ersten 
incommensurabelen Linie — A, und die 
n 
angefügte Linie ist rational. 
54. Die sechste Apotome zu fin 
den (Satz 91). 
Nimm 3 Zahlen m, n, p die keine Qua 
dratzahlen sind. Setze 
m : n = A 2 : X 2 
n:p = X 2 :Y 2