e. 
Ellipse. 
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Ellipse. 
I 
l 
c”); Um x zu eli- 
tan die erste Glei- 
c”), die zweite mit 
lirt und erhält: 
- c'c"A) 
- bc'c”) 
- c'c"A) 
- ac’c”) 
2 ayx 2 —cax 
" “ cß — by (3) 
n die erste Gl. mit 
so erhält man 
bay + ca i/ 3 = 0 
vy + ay xy* = 0 
y x — ca) y~ = 0 
tyx — ca) y = 0 
der gleich gesetzt, 
lalft und geordnet 
3 
; der ganzen Klasse 
rde liegende allge- 
aufgestellt: 
by + ex + f = 0 (1) 
die Bedeutung und 
meinen Coefficienten 
nter der Bedingung 
issen (x) der Glei 
ben (Gl. 9): 
4 ac 
4 ac 
4 ac 
he Formen von Cur- 
mrden, welche fol- 
'19, 20, 21, pag. 175) 
Ax -(- Bx“ 
Ax — Bx 3 
Ax 
Fiir die erste und die dritte Gleichung 
sind bei unendlichen Abscissen auch un 
endliche Ordinaten vorhanden; für die 
zweite Gleichung sind für unendliche Ab 
scissen Ordinaten unmöglich. Die erste 
Gleichung gehört der Hyperbel, die dritte 
der Parabel und die zweite der Ellipse. 
Für B = 1 geht die Ellipse in den Kreis 
über (s. pag. 175 Gl. 22). 
Die allgemeine Gleichung der Ellipse, 
wenn deren Axe die Abscissenlinie und 
der Scheitel der Anfangspunkt der Ab 
scissen ist, hat man also 
y 3 = Ax — Bx 2 (4) 
2. In No. 15, pag. 176 ist, um auf den 
Character der Kegelschnitte specieller zu 
kommen, Bezug genommen auf den Art. 
„Brennpunkte derK egelschnitte“ 
Bd. I, pag. 420 mit Fig. 257. Hier wer 
den die Constructionen der Kegelschnitte 
aus dem Kegel bildlich dargestellt und 
die Hauptformeln für dieselben abgeleitet, 
wobei die Axen dieAbscissenlinien mitidem 
Scheitel F als Anfangspunkt gelten. Die 
Abtheilung B. handelt speciell von der 
Ellipse. 
Mit Bezug auf die Bezeichnung Fig. 257 
ist die rechtwinklige Coordinatengleichung 
entwickelt (pag. 422, Gl. (1)). 
y^k 
sin ß’ sin(ß’—a)sinß’ „ ... 
' x ——x 3 (5) 
cos(la) ~ cos 2 (1 a) 
Hier ist k der Durchmesser EF des 
Kegels in dem Scheitel F der Ellipse, 
a der /_EAF des Axenquerschnitts an 
der Kegelspitze und ß' der /_DFJ' den 
die Ellipsenaxe FJ’ mit der zu dem Schei 
tel F gehörenden Kegelseite AD bildet; 
oder den Coefficient des ersten Gliedes 
durch p ausgedrückt (Gl. (2)). 
sin(ß'-a) „ , . 
<6) 
An diese Gleichung knüpft sich der 
Grund für den Namen (Ellipse) der Curve. 
Ferner ist die Länge (2») der grofsen 
Axe erwiesen: 
9 t _ cos (i«) ^ _ Ä 2 sin ß' _ cos 2 (Aa) 
sin(ß’-a) p sin(ß'-a) sin ß'sin (ß'— a 
CU 
Endlich ist durch die Formeln nach 
gewiesen, dafs die Ellipse aus 2 congru- 
enten Hälften besteht, wie Bd. II, pag. 
175, No. 13 aus der Formel 1: 
y 3 = Ax — Bx 2 
und dafs 
B = 
sin {ß' — «) 
cos (£«) 
sin ß 
cos 
Mithin hat man aus B > 1 
, > 
sin (/S’ — «) 
und — die beiden Axen 
Vß 
> 
cos 2 (4«) < st» ß' • st» (ß' — ß) 
3. Die Gleichungen 4 bis 6 für die El 
lipse haben die Beschränkung, dafs die 
Abscissenlinie die Axe mit dem Scheitel 
der E. sind. 
Für die halbe grofse Axe zur Abscisse, 
also für x = cos ft erhält man in 
2sin{ß —a) 
y die halbe kleine Axe c. 
Mithin hat man aus Gl. 2 die kleine 
Axe 
2c = * 1/. t*”)— m 
sm(ß—a) \/sin ß'siniß—a) 
Aus Gl. 4 und 5 geht hervor, dafs die 
beiden Axen sich verhalten 
2« :2c= cos (!«): |/st» ß' • st» (/?' —o) (9) 
Wenn das 4te Glied > ist als das 3te, 
so ist 2c die grofse, 2« die kleine Axe. 
So wie Bd. II, pag. 175, No. 13 nachge 
wiesen ist, dafs für B < 1 die grofse Axe 
A A 
= -jrdie kleine = —=■ und für B > 1 die 
B \B 
A A 
grofse Axe —- die kleine — wird. 
Es stimmt diese Angabe mit der Pro 
portion 9 überein; denn es ist 
als Anfangspunkt ist und dafs die Ordi 
naten rechtwinklig sind. Eine allgemeine 
Gleichung für die Ellipse ist aber eine 
solche, die eine gegen die Axe ganz be 
liebig liegende Abscissenlinie, einen be 
liebigen Anfangspunkt hat und dessen 
Ordinaten einen beliebigen Winkel mit 
der Abscissenlinie bilden. Nur liegt das 
ganze Coordinatensystem mit der Ellipse 
in einerlei Ebene. Für diesen ganz all 
gemeinen Fall nimmt die Coordina 
tengleichung die Formel 1 angegebene 
Form an. 
Es ist jedoch erforderlich, dafs diese 
allgemeine Gleichung mit ihren Coeffi 
cienten a bis f die Gesetze einschliefse, 
welche für die Ellipse die speciellen Glei 
chungen 5 und 6 aussprechen, für die 
übrigens die einfachere Gleichung 4 gel 
ten kann. 
Das Verfahren für die Aufstellung sol 
cher allgemeinen Gleichung mit Berück 
sichtigung der der Curve zugehörenden 
speciellen Gröfsenelemente gibt Bd. II, 
pag. 176, No. 16 an, mit Berufung auf