Ellipse. 
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Ellipse. 
für die Ellipse mit a, so verwandelt man 
dieselbe in eine Gleichung, für welche 
die Ordinaten mit der Ellipsenaxe nor 
mal sind. 
Da diese einfache Operation überall 
auszuführen ist, und die übrigen Coeffi- 
cienten vereinfacht, so sollen die Glei 
chungen von I. bis YI. für die Unter 
suchung der Coefficienten aufser Betracht 
bleiben. Die letzten 6 Gleichungen ge 
hören also der allgemeinen Gleichung an 
z 2, -f- h zu + cm 2 + dz -f- eu-\-f— 0 
II. Der Coefficient b von zu ist = dem 
doppelten negativen Sinus des Winkels 
(ß) zwischen der Abscissenlinie und der 
Axe (Gl. VII.). Wo die Abscissenlinie 
in der Axe oder mit derselben 4^ liegt, 
ist ß = 0 und das Glied mit zu fällt fort. 
(Gl. VIII. bis XII.). 
III. Der Coefficient c von tt 2 ist eben 
falls nur von demselben Winkel ß ab 
hängig und = sin 2 ß -\- B cos 2 ß. 
Wo die Abscissenlinie in der Axe oder 
derselsen liegt, wird c—B. Dieser 
Coefficient kann nie = 0 werden und das 
Glied mit w 2 kann nie ausfallen. 
IV. Der Coefficient d von z ist = der 
doppelten Entfernung des Anfangspunkts 
der Abscissen von der Axe, negativ wenn 
die Axe zwischen der Ellipsenhälfte und 
der Abscissenlinie liegt (Gl. VII., X., XI.); 
positiv wenn die Abscissenlinie zwischen 
der Axe und der Ellipse liegt (Gl. XII.). 
Ist die Axe zugleich Abscissenlinie, so 
fällt das Glied mit z fort. 
V. Der Coefficient e von u hängt von 
3 Elementen ab; 1. von dem Z_ß zwi 
schen der Abscissenlinie und der Axe; 
2. von der Entfernung des Anfangspunkts 
E' oder der Projection des Scheitelpunkts 
E auf die Axe von dem Scheitelpunkt 
Ä der Ellipse und 3. von den Parame 
tern A und B. 
Ist die Abscissenlinie die Axe, der 
Scheitel der Anfangspunkt der Abscissen 
(Gl. IX.) oder läuft die Abscissenlinie mit 
der Axe 4= und ist die Projection des 
Anfangspunkts auf die Axe der Scheitel 
(Gl. XL), so ist e ~ — A. 
Ist die Abscissenlinie die Axe und die 
Entfernung des Anfangspunkts vom Schei 
tel =p—g=s (Gl. VIII.); oder läuft die 
Abscissenlinie mit der Axe 4= und ist die 
Projection des Anfangspunkts auf die Axe 
vom Scheitel um die Länge s entfernt, 
so ist e = -\- A — 2Bs (Gl. X., XII.). 
In Gl. VII. ist p-gcosß=s-, für A 
und B stehen deren Projectionen A cos ß 
und B cos ß-, hierzu kommt das Glied 
2g siti 2 ß und es ist 
c=2g sin z ß + A cos ß — 2B cos ß(p ~g cos ß) 
VI. Der Coefficient f, das bekannte 
Glied wird = 0, wenn der Anfangspunkt 
der Curve zugleich Anfangspunkt der 
Abscissen ist. (Gl. IX.) 
Liegt die Abscissenlinie 4= der Axe 
und ist die Projection des Anfangspunkts 
auf die Axe der Scheitel (Gl. XI.), so ist 
e = dem Quadrat des Abstandes h beider 
Parallelen 
e = h 2 
Liegt die Abscissenlinie in der Axe, 
der Anfangspunkt der Abscissen in der 
Entfernung p — g-s vom Scheitel (Gl. VIII.) 
so ist 
e = — As -f- Bs 2 
Läuft die Abscissenlinie in der Ent 
fernung h A-- der Axe und ist die Pro 
jection des Anfangspunkts auf die Axe 
um s von dem Scheitel entfernt (Gl. X., 
XII.) so ist 
e = hß — As + Bs 2 
Setzt man h 2 — As + Bs 2 = 0, so erhält 
man dasjenige s bei gegebenem h oder 
dasjenige h bei gegebenem s für welches 
der Anfangspunkt in einem Ellipsenpunkt 
liegt. 
Setzt man in der allgemeinsten Glei 
chung VII. die Entfernung g sin ß des 
Anfangspunkts von der Axe = /i, ;p-gcosß, 
die Entfernung der Projection des An 
fangspunkts vom Scheitel = s so hat man 
ganz allgemein 
f = h, 2 — As A Bs 2 
In Band II., pag. 180, No. 25 mit Fig. 
534 wird die geometrische Construction 
der Parameter A und B gezeigt. 
6. Setzt man nach No. 2. 
- = der grofsen Axe AB = 2a 
/> 
Fig. G09. 
A 
\B~ 
so erhält r 
Diese W 
und geordn 
y 
Ist nun '] 
609), BU = 
LV die Noi 
tangente, I 
Bd. II., j 
in Fig. 609 
aus Gl. 10 
1. lgu = 
2. Subtg i 
3. Tang LT 
4. Subnor 
5. Norm L 
Bd. II., p 
die Formel i 
des Krümmn 
in GL 10 d 
a = ZU des J 
die für die 
Setzt man ii 
len Werthe 
I. 
II. 
dx 
8 a; 2 
so erhält ma 
6. LW = 
7. ZU = o 
8. ZW=ß 
7. Nimmt i 
telpunkt C de 
bezeichnet füi 
QU mit m, so i