Ellipse. 
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Ellipse. 
Um das Differenzial integrirbar zu ma- /*• / 7~l 
chen kann man den Z_HCA für die Or- ¿=c / 1/1 + (— sin ß) 9/S (56) 
dinate JH des Halbkreises = ß setzen, ' c 
dann ist x — a — a cos ß 
— — a sin ß 
i + 
cos */? 
a « sin /3 • 9/i 
a 2 1 — cos 2 /3 
= a J J, + sin 2 ß — ~j sin 2 /3 9/i 
=fl/c 3 + (a 2 — c 2 ) sin 2 , 
Dieses Integral ist nur näherungsweise 
aufzulösen, und dies geschieht am ge 
eignetsten, wenn man 
1/l + (±. sin/? ) 2 = [l + (i-sin/s)]^ 
durch den Binomischen Satz in eine Reihe 
e 
entwickelt. Man hat, wenn man — = n 
c 
setzt 
|"l + (~ sinß^ j' = 1 + w 2 sin 2 ß n 4 sin *ß -f ^ n 6 sin 6 ß 
- IS si ” ’ ß + ¿6 ” 110 ““ “ ß -dü" 11 si “ " ß 
+ 
Von jedem dieser Glieder das Integral genommen erhält man 
n = ß 
«* sin V = Y n- [y y sin & * cos ^ I 
j'— — U 4 sin 4 /i = W 4 [ Y Z 5 Y sin ß * cos ß —~ sin ' J ß • cos /i j 
/ *1 1 r 5 5 5 1 
— n G sin 6 ß = — n 6 ß- Jg sin ß ■ cos ß - — sin 3 /i • cos /9 - Y «* 5 £ • c0 * £j 
/- IS n * *“ >ß =- IS "* [S ^ fs ,J “ 15 • *“ * - rs !i "■ c “ 
7 1 1 
— — sin b ß • COS /3 —— sin 7 ß • cos ß I 
48 8 J 
fh, “ ß = se n '° IS ß -m ,in ß ' c ° sß ~m sin >ß • “* ß 
~^ sin5 ß' cos ß~^ sin7 ß’ cos ß~Yö sin *ß • 
/- 
21 
160 
21 
n 12 sin 12 /3 = — 
1024 P 1024 
77 
n 12 [ 
231 
1024 1 
~64ö si n 5 ß-c°sß 
231 . „ 231 . 
— nnß.eo'ß- im n»*ß.co,fl 
33 11 
~ 3^0 **" 7/3 ' C0S •* ~ 120 **“ 9/3 ' r0S ß 
sin u /i • cos 
12 
Es ist mithin — = einer unendlichen Summe unendlicher Reihen von denen 
c 
die erste den Factor ß, die zweite den Factor sin ß • cos ß u. s. w. hat. Die erste 
3m 4 5n 6 175n 8 441 n 19 
"8* + 16 2 ~ 128* + 256* 
die abwechselnden Vorzeichen machen .. e , ± 
die Reihe nicht geeignet, zur Berechnung g rüfse l / f +(a “ c ) *^ umf ° rmt ln 
einer Bogenlänge und da diese auch bei | a 2 — (n* — c 2 ) cos 2 /3 
den Reihen für die Factoren sin ß • cos ß, r / Tj 
sin b ß • cos ß u. s. w. vorkommt, so ist woraus l-a f I 1 — (—cos ß) dß 
eine andere Reihe erwünscht. Man er- * * v a 
hält diese, wenn man die obige Wurzel- Es entsteht nun die Reihe 
W\- 
1-4* 
Nun ist 
fl = ß 
—/4n 2 cos Sß = - 
2 4 
f 3-5 
J 2.3.4. 
r 3.5.7 
J 2-3.4.5- 
/i 
3.5.7. 
2-3-4-5. 
Hieraus ent 
Die Constan 
Für x = a v 
drant, für welch 
rend die übrigen 
Für a = 5, 1 
Man hat dei 
¿ = 5(1-0,16 
23. Quadri 
winklige Coordin 
Es ist Form 
III.