Festigkeit. 
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Festigkeit. 
/ 
Nun ist 4r ! j/r 2 -x 2 = 4r |^|x l/r 2 - x 2 + y Are sin ~ J 
= 2rx l/r 2 — x 2 + 2r 3 Are sin — 
r 
Fiir das zweite Integral No. 4 hat man die Reductionsformel 
1 
(5) 
x m {(i cx 2 ) H 9x — 
[(a-f-cx 2 )" +1 • x"' 1 -(m—\)af(a + cx i ) n x m 2 ] 
c (2m -f in + 1) 
Hier ist a = r 2 , c = — 1, n = 4, wi = 2 
Also 
/j r 2 — x 2 «x 2 9x = - i [(r 2 - x 2 )- x - r 2 /(r 2 - x 2 )-] 
- _ i x (r 2 - x 2 ) ]/r 2 — x 2 + ir 2 (%x j/r 2 x 2 + y Are s*» y) 
Vl » 
Ìy j/r 2 — X 2 X 2 9x = - ¿rx j/r 2 - X 2 + i y l/r 2 —X* + « i' 3 Are sin y 
Mithin den Ausdruck G von dem No. 5 abgezogen gibt 
/17r 2 x —2x* ; 15 . . x\ 
2JÌ' = n ^ 8r l/r 2 - x 2 + y r 3 Are sin y j 
und 
(6) 
wo die Constante fortfällt, weil fiir x = 0 
auch äli = 0 wird. 
Für x = r entsteht das Moment des 
Halbkreises. 
Das erste Glied fällt fort, y =1 folg- 
lieh Are (sin = 1) = —- und 
ÜJt = ^ 71 r 3 n 
16 
Für den ganzen Cylinderquerschnitt 
erhält man 
51 = —— n r 3 n (7) 
8 
7. Ein vierkantiger Balken von den 
Abmessungen /, />, h ist an einem Ende 
in horizontaler Lage befestigt, so findet 
man das auf das andere Ende anzubrin 
gende Gewicht (> durch welches er zer 
bricht, wenn sein eigenes Gewicht mit 
berücksichtigt wird wie folgt; 
Ist (] das Gewicht der Körpereinheit, 
so ist das Gewicht des Balkens = tbkg; 
dieses ist in seinem Schwerpunkt, also 
auf der Hälfte seiner Länge wirksam, 
mithin sein Moment in Beziehung auf 
den Befestigungsquerschnitt = 4bkl*g, 
das Moment des Gewichts Q ist = / • Q, 
daher hat man die Momentengleichung 
IQ + \bhl*g = «6A 2 
- nbh* . 
woraus Q - 4bhlg 
Für Q — 0 hat man in / die Länge, bei 
welcher der Balken vermöge seines eige 
nen Gewichts in dem Befestigungsquer 
schnitt zerbricht 
I / A 
L = 1/ 2n — 
r 9 
8. Ein vierkantiger Balken von den 
Abmessungen l, b, h ist in horizontaler 
Lage an seinen Enden unterstützt und 
zwischen beiden Unterstützungspunkten 
in Entfernung a von dem einen Ende 
mit einem Gewicht Q belastet, so findet 
man das Maximum von Q, bei welchem 
also der Balken zerbricht, wenn auf das 
Gewicht des Balken keine Rücksicht ge 
nommen wird, durch folgendes Verfahren. 
Das Gewicht Q hat zur Gegenwirkung 
den Druck des Balkens auf beiden Un 
terstützungen in /1 und B. Der Druck 
auf A sei P, so kann man die Stütze A 
hinweg und dafür lothrecht aufwärts eine 
Fig. G28. 
Kraft P angebracht denken, so dafs das 
Gleichgewicht hergestellt bleibt. Durch 
diese Abänderung ist nun der Balken l 
zum Hebel mit dem festen Drehpunkt B