Kreis. 
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Kreis. 
= R = ZABD+ZBAD = ZABF=ZABD 
A- Z DBF. Folglich ZBAD = ZDBF. 
ad 2. Nach Lehrsatz 22 ist ZA + Z G 
= 2R = ZDBF A zDBE. Nim ist ZA 
— ZDBF (ad 1) mithin ZG — ZDBF. 
Lehrsatz 35. Schneiden einander in 
einem Kreise zwei gerade Linien, so ist 
das unter den Abschnitten der einen ent 
haltenen Rectangel dem unter den Ab 
schnitten der anderen enthaltenen gleich. 
Gehen die beiden sich schneidenden 
Linien durch den Mittelpunkt, so ist der 
Satz an sich klar. Ist aber C der Mit 
telpunkt, und der Durchschnittspunkt ein 
anderer, E, so ziehe CB, CG, CE, fälle 
die Perpendikel CF, CH, so ist AF= GF, 
BH — DH. 
Fig. 781. 
Mithin AE x GE + EF i zz AF 2 = GF 2 *) 
hierzu CF 2 = CF 2 
gibt AExGEAEF i A- CF 2 = CF 2 + GF 2 
oder AE x GE -f CE 2 = CG 2 = CB 2 
Eben so ist 
DExBEA-CE 2 =CB 2 
folglich ist AE x GE = DE x BE 
Lehrsatz 36. Gehen von einem aufser- 
halb eines Kreises (Fig. 775) genomme 
nen Punkt D zwei gerade Linien nach 
dem Umkreis, von denen ihn die eine 
DA oder DF in AL schneidet, die an 
dere DB berührt, so ist das unter der 
ganzen schneidenden Linie DA, DF und 
ihrem aufserhalb des Kreises befindlichen 
Abschnitt DG, DL enthaltene Rectangel 
dem Quadrat der Berührungslinie DB 
gleich. 
ad 1. Wenn die schneidende Linie DA 
den Mittelpunkt M trifft. 
Fälle das Loth MB auf BD, so ist 
DM 2 = DB 2 + BM 2 
Ferner ist 
ADxBGA GM 2 = DM 2 **) 
oder 
AD x DGA-BM 2 = DM 2 =DB 2 ArBM 2 
woraus AD x DG = DB 2 
ad 2. Wenn die schneidende Linie DF 
nicht den Mittelpunkt M trifft. 
Fälle das Perpendikel MR auf DF, 
dann ist FL in R halbirt, und man hat 
DFx DL + LR 2 = DR 2 
hierzu MR 2 = MR 2 
gibt 
DFx DL + LR 2 + MR 2 = DR 2 + MR 2 
oder 
DFx DL + LM 2 = DM 2 = BD 2 +BM 2 
Nun ist LM 2 - BM 2 
folglich ist DF x DL = BD 2 
Lehrsatz 37. Gehen von einem aufser 
halb eines Kreises (Fig. 775) genomme 
nen Punkt D zwei gerade Linien an den 
Umkreis, von denen die eine DF ihn 
schneidet, die andere DB an ihn fällt, 
und ist das unter der ganzen schneiden 
den Linie DF und ihrem aufserhalb des 
Kreises befindlichen Abschnitt DL ent 
haltene Rectangel dem Quadrat der an 
den Umkreis fallenden Linie DB gleich, 
so ist letztere eine Berührungslinie des 
Kreises. 
Denn denkt man sich (Fig. 775) rechts 
von AD eine berührende DB,, so ist nach 
dem vorigen Satz: DFx DL = DB 2 
Nun ist zugleich DFx DL = DB 2 
folglich DB, = DB 
Nun sind in den beiden Dreiecken DMB 
und DMB, ■ DB = DB,; DM = DM und 
MB = MB,] folglich ist auch Z DBM = 
ZDB,M und da dieser ein rechter Win 
kel ist, so ist auch ZBBM ein rechter 
Winkel, und folglich DB eine Tangente 
(Satz 16). 
7. Hier schliefst das dritte Buch und 
mit ihm das Lehrgebäude über die wis 
senswürdigsten Eigenschaften des Kreises 
mit Ausnahme der Aufgaben, welche durch 
Construction gelöst werden, von welchen 
allein 16 Aufgaben das 4te Buch aus 
machen. 
Auffallend könnte es erscheinen, dafs 
ein ganz einfacher Lehrsatz, der zu den 
ersteren der Kreislehre gehört, erst als 
*) Anmerk. 
**) Anmerk. 
AE = a, GE = b gesetzt: ab -|- ~ bj = 
AD = a, DG = b gesetzt: ab + j = (“W“ + Ä )