Kreis. 
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Kreis. 
ist /SDBM^&DB'M, -weil DM = DM, 
BM = B’M und B = 2. B' = -ß- Folglich 
ist DB' = DB. 
Da nun auch /_DMB' = /_ DMB, so ist, 
■wenn man BB' zieht und den Durch 
schnittspunkt zwischen DM und BB' mit 
R bezeichnet, MR = MR, mithin ABMR 
eg B'MR und hieraus BR = B'R und 
ZBRM = ZB'RM=R. 
29. Treffen sich eine Tangente und 
Sehne in dem Berührungspunkt, so ist 
der von ihnen gebildete Winkel = dem 
Peripheriewinkel im gegenüberliegenden 
Kreisabschnitt. 
Beweis vorstehend, Euklid, Satz 32. 
30. Ist von den beiden geraden Linien 
DB und DF, Fig. 775, erstere eine Tan 
gente, letztere eine Durchschnittslinie, 
so ist das Rectangel, welches von dieser 
Dnrchschnittslinie mit dem äufseren Theil 
derselben gebildet wird, gleich dem Qua 
drat der Tangente. Also Fig. 775: 
ÜB 2 = DFx DL = DA x DG = DJ x DH 
Beweis: Euklid, Satz 36 mit Fig. 775. 
31. Der umgekehrte Satz von 30 mit 
Beweis s. vorstehend Euklid, Satz 37. 
32. Zwei Kreise, die einander schnei 
den und die einander berühren haben 
keinen gemeinschaftlichen Mittelpunkt. 
Euklid hat darüber 2 Lehrsätze: Zwei 
Kreise, die einander schneiden haben kei 
nen gemeinschaftlichen Mittelpunkt (Satz 
5 mit Fig. 773) und: Zwei Kreise, deren 
einer den anderen inwendig berührt, 
haben keinen gemeinschaftlichen Mittel 
punkt (Satz 6 mit Fig. 774). Dafs dies 
bei Kreisen, die sich auswendig be 
rühren, der Fall ist, scheint ihm unnö- 
thig bewiesen zu werden. 
33. Zwei Kreise schneiden einander in 
nicht mehr als zwei Punkten. Beweis 
ist vorstehend in Euklid, Satz 10 mit 
Fig. 773. 
34. Wenn zwei Kreise sich schneiden, 
so steht (Fig. 782) die Centrale CC’ auf 
der gemeinschaftlichen Sehne AB normal 
und halbirt dieselbe. 
Fig. 782. 
Denn aus AC’ = BC’, AC = BC und 
CC' = CC’ hat man 
AACC’ss&BCC' 
Hieraus Z.ACC'=ZBCC’ 
hierzu AC = BC, DC = DC gibt 
&ACDm/±BCD 
woraus AD = BD und ZADC=Z_BDC=R 
35. Kreise berühren einander, sowohl 
innerhalb als aufserhalb in nicht mehr 
als einem Punkt und haben daselbst eine 
gemeinschaftliche Tangente. (Beweis, 
Euklid, Satz 13 mit Fig. 774.) 
36. Berühren zwei Kreise einander in 
nerhalb oder aufserhalb, so trifft die Cen 
trale den Berührungspunkt. (Beweis s. 
Euklid, Satz 11 und 12.) 
37. Zwei in einer Ebene liegende 
Kreise schneiden sich, wenn der Abstand 
ihrer Mittelpunkte kleiner ist als die Sum 
me ihrer Halbmesser oder gröfser als die 
Differenz derselben. 
Denn im ersten Fall liegt jeder Mittel 
punkt aufserhalb des zweiten Kreises, im 
zweiten Fall liegen beide Mittelpunkte 
in dem gröfseren Kreise; in beiden Fäl-' 
len steht die Verbindungslinie der Mit 
telpunkte (die Centrale) auf der gemein 
schaftlichen Sehne normal und halbirt 
dieselbe. 
38. Zwei in einer Ebene liegende 
Kreise berühren einander in einem ein 
zigen Punkt, wenn der Abstand ihrer 
Mittelpunkte gleich der Summe oder der 
Differenz ihrer Halbmesser ist. Sie ha 
ben eine gemeinschaftliche Tangente, die 
im ersten Fall zwischen beiden Kreisen, 
im zweiten Fall auf einer Seite beider 
Kreise liegt, weil die Berührung der 
Kreise im ersten Fall aufserhalb, im zwei 
ten Fall innerhalb geschieht. 
39. Zwei in einer Ebene liegende 
Kreise liegen ganz auseinander, wenn 
die Centrale gröfser ist als die Summe 
der Halbmesser. Ist die Centrale kleiner 
als die Differenz beider Halbmesser, so 
liegt der kleinere Kreis ganz innerhalb 
des gröfseren. 
40. Wenn (Fig. 783 und 784) zwei 
Kreise einander berühren, und man zieht 
durch den Berührungspunkt zwei gerade 
Linien, welche jeden der beiden Umfänge 
in noch einem Punkt schneiden, so sind 
die beiden Sehnen, welche diese Durch 
schnittspunkte verbinden, einander pa 
rallel. 
Denn in Fig. 783 sind DG und FH, 
in Fig. 784 AF und AD die beiden durch 
den Berührungspunkt A gezogenen ge 
IV.