Löwe. 
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Logarithmen. 
fangt 30 Grad vom Sommerwendepunkt, 
am Ende des Krebses an und endet am 
Anfang der Jungfrau, 60 Grad vom Som 
merwendepunkt. 
Logarithmen sind die Stellenzahlen 
einer geometrischen Reihe, die nach den 
Potenzen einerbeliebigenZahl,derGru nd- 
zahl fortschreitet. Ist z. B. die Reihe: 
A, A\ A 3 , A 4 .... A n 
so ist A die Grundzahl, Basis und 
die Zahlen 1, 2, 3 ... n sind Logarithmen. 
Nämlich 1 ist der Logarithmus von A\ 
2 der Log. von A 2 , n der Log. von A". 
Die Logarithmen sind also zugleich die 
Exponenten einer Zahl, diese als Potenz 
einer gegebenen Zahl”A betrachtet. 
Wie die Glieder der Reihe eine geo 
metrische , so bilden deren Logarithmen 
eine arithmetische Reihe. 
Man kann die Reihe rückwärts fort 
setzen; dann erhält man 
A~ n , a~.... A- 2 , A \ A°, A', A 2 , ....A" 
Deren Logarithmen sind der Reihe nach und unabhängig von der Gröfse der 
-1, —2, -1, 0, 1, 2, 3 ...... 
Um aus einem Gliede ein nächst vor 
hergehendes zu finden hat man es durch 
die Grundzahl zu dividiren. ~ r - = A 3 ; 
A 
, A’ • 
eben so -j-, = A° = 1. 
A 
Bei jeder beliebigen Grundzahl also ist 
der Log. der Basis = 1, der Log. von 1 
= 0. 1st die Basis > 1, so haben alle 
Zahlen gröfser als 1 positive, alle Zahlen 
kleiner als 1 negative Logarithmen. Ist 
die Basis <1, so haben alle Zahlen < 1 
positive, alle Zahlen > 1 negative Lo 
garithmen Der Log. von 0 ist = ± «>, 
d. h. Null hat keinen Log. Die Zusam 
menstellung der Logarithmen mit ihren 
Zahlen in Beziehung auf eine bestimmte 
Basis heifst ein Logarithmen system 
und man erhält so viele Systeme als Ba 
sen man annimmt. 
Der Art. Brigg sehe Logarithmen 
hat schon den Nutzen und die Anwen 
dung der Logarithmen dargethan, und 
es kann demnach zum Bedürfnifs des 
practischen Rechnens kein anderes Sy 
stem geben, als das unserem dekadischen 
System zugehörige dekadische Logarith 
mensystem, das System dessen Basis 
= 10 ist. 
Der Art. „Basis eines Logarith 
mensystems“ zeigt noch die Begrün 
dung eines zweiten Systems, welches aus 
wissenschaftlichen Gründen, nämlich weil 
der Modul = 1, das einfachste System ist 
und daher auch das natürliche Lo 
garithme nsystem genannt wird. 
2. In dem Art. Basis eines Logarith 
mensystems sind nun folgende Formeln 
entwickelt. 
Der Logarithmus einer Zahl a, wenn 
die Basis des Systems b ist, 
loa («- * )-*(«- l) 2 + a (« - l) 3 
9 (Ä~l)-i(*-l) 2 +i(6-l) 3 -.... 
(1) 
Der Modul des Systems also 
Al — - fol 
(ä —l)—4(6—i)+K*—1)3—... ; 
3. Beide Formeln sind zu numerischen 
Berechnungen nicht anzuwenden. Durch 
Umformungen aber gelangt man zu brauch 
bareren Formeln. „ 
Setzt man zuerst a — 1 = x, so ist 
ö = 1 + a\ Man erhält, diesen Werth in 
Gleichung 1 eingeführt, und für 1 divi- 
dirt durch den Nenner = M gesetzt: 
log (1 + x) = M [x — \x 2 + hx 3 — ¿a; 4 + ....] (1) 
Nimmt man den negativen Werth von x, so hat man 
log (1 — x) = — M [x-\- }x 2 + ' s x 3 A i# 4 -f....] (2) 
Die zweite Gleichung von der ersten abgezogen gibt 
log (1 + x) - log (1 -a0 = /o fl iii^ = 2fl/0r-|-4 < r 3 -f $x 5 ++x 7 ....) (3) 
Diese Gleichung ist schon deshalb geeigneter zu Berechnungen, weil in der