Parabel. 
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Parabel. 
zu der Gleichung 
az % -f bzu -f cm 2 -j- dz -J- cm -J- f - 0 
I. Der Coefficient a ist = 1 wenn (Fig. 
608) Z_ DKC = (t) -f- ß\, d. h der Winkel, 
den die Ordinate mit der Axe bildet, ein 
Rechter ist. Dividirt man daher eine mit 
os 2 gegebene allgemeine Gleichung für 
die Parabel mit a, so verwandelt man 
dieselbe in eine Gleichung, für welche die 
Ordinaten mit der Parabelaxe normal 
sind. 
Da diese einfache Operation überall 
auszuführen ist und die übrigen Coeffi- 
cienten vereinfacht, so sollen die Glei 
chungen I. bis VI. für die Untersuchung 
der Coefficienten aufser Betracht bleiben. 
Die letzten sechs Gleichungen gehören 
also der allgemeinen Gleichung an 
* 2 -J- bzu -f- cm 2 + dz + eu + f — 0 
II. Der Coefficient b von zu ist = dem 
doppelten negativen Sinus des Winkels 
(ß) zwischen der Abscissenlinie und der 
Axe (Gl. VII). Wo die Abscissenlinie in 
der Axe oder mit derselben 4= liegt, ist 
ß = 0 und das Glied mit zu fällt fort 
(Gl. VIII. bis XII.). 
III. Der Coefficient c von w 2 ist eben 
falls nur von demselben Winkel ß ab 
hängig und = dem Quadrat seines Sinus. 
Für den Fall, wie ad II. gedacht, für die 
Gleichungen VIII. bis XII. wird ß — 0, 
also sin i ß — 0 und das Glied mit « 2 fällt 
aus. 
IV. Der Coefficient d von z ist = der 
doppelten Entfernung des Anfangspunkts 
der Abscissen von der Axe; negativ, wenn 
die Axe zwischen der Parabelhälfte und 
der Abscissenlinie liegt (Gl. VII, X, XI.); 
positiv, wenn die Abscissenlinie zwischen 
der Axe und der Parabelhälfte liegt (Gl. 
XII.). Ist die Axe die Abscissenlinie, 
so fällt das Glied mit z fort. 
V. Der Coefficient e von u hängt von 
3 Elementen ab. 1. Von dem Winkel ß 
zwischen der Abscissenlinie und der Axe. 
2. Von der Entfernung des Anfangspunkts 
E der Abscissen von der Axe (</ • sin ß) 
und von dem Parameter A. 
Ist die Abscissenlinie die Axe oder 
läuft sie mit derselben parallel, so ist 
/3 = 0 und e = A (Gl. VIII, X, XII.); ist 
hierbei der Scheitel zugleich Anfangs 
punkt der Abscissen (IX, XI.) so ist 
e — — A. 
VI. Der Coefficient f, das bekannte 
Glied. Liegt die Abscissenlinie in der 
Axe, der Anfangspunkt der Abscissen in 
der Entfernung p — g — s vom Scheitel 
(Gl. VIII.) so ist f= — As. 
f wird = 0, wenn der Anfangspunkt 
der Abssissen im Scheitel liegt (Gl. IX.). 
Siehe den Grund hiervon in dem Art. 
„Curven“, pag. 173, No. 4. 
Liegt die Abscissenlinie 4= der Axe 
und fällt die Projection des Anfangspunkts 
auf die Axe in den Scheitel (Gl. XI.) so 
ist f - dem Quadrat des Abstandes h bei 
der Parallelen; 
Läuft die Abscissenlinie in der Ent 
fernung h 4= der Axe und ist die Projec 
tion des Anfangspunkts auf die Axe um 
s von dem Scheitel entfernt (Gl. X, XII.), 
so ist f — /t 2 — As. 
Setzt man h 2 —As — 0, so erhält man 
dasjenige s, für welches der Anfangs 
punkt der Abscissen in einem Parabel 
punkt liegt. (S. den Grund hiervon in 
dem Art. „Curven“, pag 173, No 4.) 
Setzt man in der allgemeinsten Glei 
chung (VII.) die Entfernung g sin ß des 
Anfangspunkts von der Axe = h,; die 
Entfernung (p — g cos ß) der Projection 
des Anfangspunkts vom Scheitel =s, so 
hat man ganz allgemein 
f = h, 2 -As 
In Band II, pag. 180, No. 25 mit Fig. 
534 wird die geometrische Construction 
des Parameter A bei gegebenem Kegel 
gezeigt. 
5. Um nun fernere speeiellere Unter 
suchungen über die Parabel anzustellen, 
ist an die No. 1 und 2 aufgestellten 6 
Formeln anzuknüpfen und fortzufahren. 
Zugleich ist auf einige elementare Ent 
wickelungen und geometrische Construc- 
tionen in dem Art „Brennpunkt der 
Parabel“ aufmerksam zu machen. 
In Fig 872 sei EDO eine halbe Para 
bel, E deren Scheitel, EK deren Axe. 
Für den Parabelpunkt D ist EG = x die 
Abscisse, GD = y die Ordinate, und 
nach Formel 5 und 6 
y 2 = 2k sin • x = px 
Berührt CT die Parabel in I) und ist 
DL normal auf DT, so ist für den Punkt 
D-. DT die Tangente, DJ die Nor 
male, GT die Subtangente, GJ die 
Sub normale. Band II, pag. 185 sind 
die allgemeinen Formeln für diese 4 Li 
nien angegeben. 
Nämlich die trigonometrische Tangente 
des Winkels DTG zwischen der Tangente 
und der Axe: lg « = f'x = 
oj; 
die Tangente DT = ~ | ) 2 
/ x 
die Normale DJ = fx\ \ -}- (f'.r) 2