Parallelepipedum. 
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Parallelepipedum. 
Es seien A, B, C die Längen der drei 
Kanten eines P.; der Winkel zwischen 
A und B sei c, der zwischen A und C 
= b und der zwischen B und C = a. Der 
Neigungswinkel der Kante C gegen die 
Grundfläche {A, B) sei = d. Es ist mit 
hin der Inhalt der Grundfläche = A- Bsin c 
und der Inhalt des P. = A • B-C• sine* sind. 
Man beschreibe nun aus der Ecke N 
zwischen den Kanten A und B eine Ku 
gelfläche, so bilden die Durchschnitts 
punkte der Kanten mit der Kugelfläche 
Spitzen für ein sphärisches Dreieck, wel 
ches entsteht, wenn man diese Punkte 
durch gröfste Kreisbogen verbindet. Die (der Kantenwinkel der Kante NR 
Seiten des sphärischen Dreiecks sind die gegen die Seite c) d. 
Kantenwinkel, und zwar PR = a, QR = b N U n ist dieser Neigungswinkel d auf 
und PQ = c; der normale Bogen von dem die Seite c nach dem Art. „Körpertri- 
Durchsclinittspunkt R zwischen a und b gonometrie, No. 18, Formel III. ge- 
auf die Seite c ist der Neigungswinkel geben: 
Fig. 882. 
’ A 2 l/ ' 
sin d = —— 1/ st 
Stn C 1 
a + b-\-c . a + b — c . a + c—b . b + c- 
sm • stn • stn — • stn 
2 ' 2 "" 2 2 
Es ist wie oben erwiesen der Inhalt des P. = ABC sine • sind. 
Mithin P. =2 A BC 
1 . a- 
1/ sin — 
-D ä + c . ci + b — c . ö + c — b . b-\-c—a 
10. Bei gegebenen Kanten und Win 
keln eines P. die Figur und den Flächen 
inhalt eines Diagonalschnitts zu bestim 
men. 
Es sei ACFH der zu berechnende Durch 
schnitt, gdh ein aus A beschriebenes sphä 
risches Dreieck, bk ein Bogen von der 
Spitze h nach dem Durchschnittspunkt k 
des Bogens dg mit der Diagonale. Ist 
nun die Kante AB = a, die Kante AD 
= b, die Kante AH = c; /_BAD = a, 
/_BAH = ß, DAH = y, so hat man in 
dem geradlinigen Dreieck ACD 
die Diagonale AC = ]/« 2 -J- b z -\- 2ctb cos « (1) 
Da nun AC: DC = sin ADC: sin DAC 
Fig. 883. 
DC 
a sin k 
so ist sin DAC = sin dk — ^ ^ sin ADC = 
AL |/ ß 2 _j- b 2 + 2ab cos « 
Nun ist in dem sphärischen Dreieck dgh nach No. 10 
,, cos ß — cos tx • cos y 
cos gdh = . 
sin u • sin y 
und in dem sphärischen Dreieck dhk nach No. 11 
cos hk = cos dh • cos dk sin dh • sin dk • cos hdk 
cos ß — cos a 
d. h. cos hk = cos y • cos dk + sin y • sin dk 
' Sltl C( • stn y 
cos ß — cos a • cos y 
cos y 
— cos y • cos dk -j- stn dk 
Aus Gleichung 2 hat man 
Stn ft 
(2) 
(3) 
(4) 
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