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fcaM 
Parallelepipedum. 245 
Parallelogramm. 
J /hk = J /HAF und /_dk = Z.DAC 
„ cos dh — cos hk • cos dk 
cos dkh — : : 
sm hk • sm dh 
Nun ist dh = y, cos hk siehe Gleichung 
6, sin hk siehe Gleichung 7 und cos hk 
s. Gleichung 6, No. 10. 
13. Der Art. „Maximum und Mini 
mum“ enthält in No. 8, 10, 12, 14 die 
Nachweise über die kleinsten Oberflächen 
der P. und in No. 9, 11, 13, 15, 16, 17 
über die gröfsten körperlichen Inhalte 
derselben. 
Parallelepipedum der Kräfte, s. „K r ä f t e 
im Gleichgewicht“, No. 27, pag. 66. 
Parallelllächig, (Kryst.), im Gegensatz 
von ge neigt flächig, sind Krystalle 
der homoedrischen Form, bei welchen die 
parallelen Flächen durch die Vergröfse- 
rung der abwechselnden Flächengruppen 
zum Theil geblieben, während sie bei den 
geneigtflächigen verloren gegangen sind. 
Parallelkreise sind Kreise auf einer 
Kugeloberfläche, die mit einander parallel 
laufen. Besonders nennt man solche Kreise 
P., die auf der hohlen Himmelskugel und 
den Weltkörpern, so auch auf der Erde, 
mit dem Aequator, der immer der gröfste 
der Parallelkreise ist, parallel laufen. Die 
P. an der Himmelskugel sind die astro 
nomischen, die auf der Erde die geo 
graphischen P. Alle unter demselben 
P. liegenden Orte haben einerlei geogra 
phische Breite. Die P. werden um so 
kleiner, je näher sie den Polen kommen 
und verhalten sich in ihren Längen wie 
die Cosinusse der geographischen Breiten. 
Jeder P. wird in 360 Grade getheilt, die 
Grade der P. nehmen also ebenfalls in 
dem Verhältnifs der Cosinusse ihrer geo 
graphischen Breiten ab. 
Parallellineal ist ein Zeichneninstru 
ment, mit welchem man parallele Linien 
auf dem Papier zieht. Es besteht aus zwei 
genau gearbeiteten neben einander geleg 
ten Linealen und ist mit zwei parallelen um 
ihre Befestigungsdorne drehbaren Metall 
bändern zusammengefügt, an welchen die 
Lineale leicht in der nöthigen Entfer 
nung auseinander geschoben werden. 
Parallelogramm ist ein Viereck, in 
welchem die gegenüberliegenden Seiten 
parallel sind. Die P. sind dieser Erklä 
rung zufolge Vierecke mit Seiten als Pa 
rallelen zwischen Parallelen; demnach 
sind je 2 gegenüberliegende Seiten und 
je 2 gegenüberliegende Winkel einander 
gleich. 
Ferner sind je 2 an einer der Seiten 
liegende Winkel zusammengenommen 
gleich zweien Rechten, sämmtliche 4 Win 
kel zusammen also = 4 Rechten. 
Aus diesen Gründen können P. ihrer 
Form nach auf zweierlei Weise verschie 
den sein. 
1. |Es können die 4 Seiten entweder 
alle gleich oder ungleich sein, und 2. Es 
können alle Winkel entweder alle gleich 
oder ungleich, d. h. rechte oder schiefe 
Winkel sein. Man hat demnach vier 
erlei P.: 
1. P. mit lauter gleichen Seiten und 
lauter gleichen (rechten) Winkeln. 
2. P. mit lauter gleichen Seiten und 
ungleichen (schiefen) Winkeln. 
3. P. mit ungleichen Seiten und lauter 
gleichen (rechten) Winkeln. 
4. P. mit ungleichen Seiten und un 
gleichen (schiefen) Winkeln. 
Das erstgenannte P. eine reguläre Fi 
gur, ist das Quadrat. 
Das zweite P. der Rhombus, die 
Raute. 
Das dritte P. das Oblongum, Rec- 
tangulum, Rechteck, 
Das vierte das Rhomboid, die läng 
liche Raute. 
Euklid hat den allgemeinen Namen: 
Parallelogramm nicht. Nur die vier 
einzelnen genannten P. und er setzt sie 
schon zu Anfang unter die Erklärungen 
mit Angabe ihrer Eigenschaften. 
Erklärung 30 lautet: Unter den vier 
seitigen Figuren heifst diejenige ein Qua 
drat, welche gleichseitig und rechtwink 
lig ist, ohne also vorher nachzuweisen, 
dafs beide Eigenschaften möglich sind. 
Dieselben Fehler finden auch bei den 
drei folgernden Erklärungen von Oblon 
gum, Rhombus und Rhomboid statt, und 
es ist dies um so auffallender, da er erst 
die Erklärung von Parallel die 35te 
sein läfst. Die spätere Einführung des 
Ausdrucks, Parallelogramm, zuerst 
Buch I, Satz 41, ist wohl von dem Ueber- 
setzer geschehen. 
Parallelogramme werden von jeder Dia 
gonale in 2 congruente Dreiecke getheilt. 
In rechteckigen P. sind beide Diago 
nalen einander gleich, in schiefwinkligen 
ungleich. 
Nimmt man eine Seite eines P. zur 
Grundlinie, so heifst die zwischen ihr 
und der gegenüberliegenden Seite gezo 
gene Normale die Höhe des P. 
P. von gleichen Grundlinien und Hö 
hen sind einander gleich. 
Der Inhalt eines P. ist gleich dem Pro 
duct : Grundlinie mal Höhe. 
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