Partielle Differenz, v. Functionen. 248 Partielle Differenzialgleichungen. 
Die Differenz auf die blofs Variabele 
y genommen, 
das zweite Glied — — —- 
y (y + Ay) 
Und wenn man das erste Glied auf y 
oder das zweite auf a? sich ändern läfst, 
das dritte Glied 
Aa? Aa? _ A a? • A y 
y+Ay y y(y+Ay) 
oder 
_ (a? +Aa?)A?/ x/\y _ _ /\x • Ay 
y(2/ + A?y) y(y+Ay) y(y + Ay) 
2. Es sei Z eine Function zweier ver 
änderlichen Gröfsen x, y, und gegeben 
ist die Differenzengleichung: 
AZ = 4 Aa? + B Ay 
wo A Aa? und BAy die partiellen Diffe 
renzen von AZ, erstere auf x, letztere 
auf y allein und A und B Functionen 
von x und y sind. Ist ferner die par 
tielle Differenz von A in Beziehung auf 
y = pAy, die von B in Beziehung auf 
x = q A&, so hat man die partiellen Dif 
ferenzengleichungen 
A A = pAy 
AB = q Aa? 
und wenn blofs A veränderlich und B 
constant genommen wird: 
AZ = (A-j- AA) A* + B Ay (1) 
= (A+pAy)A# + B Ay 
= A An + B Ay + p Ax- Ay (2) 
Setzt man (statt 1) A constant und B 
veränderlich, also 
AZ = AA* + (B + AB)Ay 
und verfahrt wie so eben, so erhält man 
AZ = A Ax + B Ay + q • Aa? • Ay (3) 
Es geht also hervor, dafs die auf x 
und y von A und B genommenen Par- 
tial-Differenzen p und q einander gleich 
sind. 
Partielle Differenzialgleichungen. Der 
Begriff von Partiellem Differenzial ist in 
dem Art. „Differenzial“, No. 45, pag. 
273 angegeben. So wie partielles Diffe 
renzial dem Totaldifferenzial, so bildet 
die partielle Differenzialgleichung den Ge 
gensatz von Totaldifferenzialgleichung. 
Man ersieht übrigens aus dem vorste 
henden Art. dafs partielle Differenzen 
gegen die vollkommenen Differenzen in 
demselben Verhältnifs stehen, wie es bei 
den Differenzialen der Fall ist. 
Ist eine Differenzialgleichung gegeben, 
in welcher mehr als zwei Veränderliche 
Vorkommen, die alle eine Beziehung, eine 
gegenseitige Abhängigkeit zu einander 
haben, und man differenzirt in Beziehung 
auf irgend eine derselben, diese als die 
Urveränderliche betrachtet, alle übrigen 
als abhängig veränderliche genommen, 
so entsteht eine Total-Differenzial- 
gleichung. Differenzirt man aber nur 
eine einzige der übrigen Veränderlichen 
als veränderlich, die anderen Veränderli 
chen dagegen als constant angesehen, so 
entsteht eine partielle Differenzial 
gleichung. 
Es sei z. B. gegeben die Differenzial 
gleichung 
A 00? -f B By = C 
so sind folgende sechs Gleichungen To 
tal- D. -Gleich ungen: 
1. 
0ÿ , 
0a? B 
C 
~ B ' 
0 Z 
0a? 
2. 
Bz A 
0a? C 
B 
+ ~c’ 
0y 
0a? 
3. 
0a? B 
c 
0 z 
0 y A 
~ A ‘ 
dy 
4. 
0Z B 
, A 
0a? 
Wy~~C 
+ c" 
0 y 
5. 
0a? B 
0z A 
02/_ 
0Z 
C 
Ä 
6. 
dy A 
0Z* B 
0a? 
0Z 
C 
B 
Die folgenden sechs Gleichungen, in 
welchen jedesmal eine dritte der Verän 
derlichen constant gesetzt ist, sind par 
tielle D.-Gleichungen. 
i 
0a? B ’ 
0z _ B 
4 * By~ C 5 
3. 
6. 
0a? _ B 
by~ Ä 
0j/ _C_ 
0z B 
2. Eine Function von einer einzigen 
Veränderlichen wird allgemein bezeichnet: 
F(x)-, f (a?); qc (a?), wo x die einzige Ur 
veränderliche ist und die also keine par 
tiellen D.-Gleichungen zuläfst. 
Eine Function von mehreren Verän 
derlichen : F (x, y); f (a?, y, z); cp (a?, y, z, u) 
u. s. w. 
Die Differenzialquotienten der 
Functionen werden bezeichnet:, 
von F (a?) mit F' (a?); von cp (a?) mit cp' (a?); 
von f(x,y) mit f(x,y).