Polyeder.
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Polyeder.
löge Linien derselben einerlei Verhält
nis haben und alle homologen Winkel
einander gleich sind, auch noch die ho
mologen Stücke in einerlei Anordnung
neben einander liegen.
Sind in zwei P. zwei Seitenflächen
einander ähnlich und liegen alle übrigen
Eckpunkte derselben in Spitzen je zwei
und zwei ähnlicher Pyramiden, so sind
beide P. einander ähnlich.
Aehnliche P. verhalten sich wie die
Cubi ihrer Längenabmessungen.
P. sind symmetrisch, wenn sie con-
gruente Flächen haben, die aber, wenn
sie auf homologe Grenzflächen neben ein
ander gestellt werden, mit den congru-
enten Flächen nach gerade entgegenge
setzten Richtungen angeordnet sind.
Symmetrische P. haben gleichen kör
perlichen Inhalt.
Wenn man von den Eckpunkten eines
P. auf eine aufserhalb des P. liegende
Ebene Lothe fällt und jedes Loth auf
der anderen Seite der Ebene um ein
gleiches Stück verlängert, so sind die
Endpunkte der Lothe die Eckpunkte eines
P., welches dem ersten symmetrisch ist.
Regelmäfsige Polyeder.
17. Ein regelmäfsiges Polyeder
ist ein P., welches lauter regel
mäfsige congruente Grenzflächen
hat und dessen Ecken von gleich
viel ebenen Winkeln eingeschlos
sen werden,
Die Anzahl der regelmäfsigen P. ist
begrenzt: Sie hängt ab von den regel
mäfsigen Vielecken, welche dessen Grenz
flächen sein können und von deren An
zahl zu Bildung deren Ecken.
Weniger als drei Vielecke können keine
Ecke bilden und wie viel mehr dazu mög
licher Weise genommen werden dürfen,
hängt von der Gröfse deren Umfangs
winkel ab, weil die Summe dieser Win
kel kleiner als 4 rechte Winkel sein
mufs.
Jeder Winkel eines regelmäfsigen Drei
ecks hat 60°, es können also sechs Drei
ecke, w r eil diese zusammen gerade 4 R.Z.
betragen, zu einer Ecke nicht genom
men werden. Es kann also nur regel
mäfsige P. geben, deren Ecken 3, 4 und
5 Dreiecke zu Grenzebenen haben.
Für Quadrate als Grenzflächen existirt
aus demselben Grunde nur ein einziges
regelmäfsiges P.
Aus demselben Grunde gibt es nur ein
einziges regelmäfsiges P., dessen Grenz
flächen Fünfecke sind. Jeder Umfangs
winkel eines regelmäfsigen Fünf
ecks hat 108°, drei Umfangswinkel zu
sammen also 324°. Mit dem Fünfeck
hört die Grenzfläche auf; denn ein Sechs
eck hat Umfangswinkel von 120°; es be
tragen also drei derselben gerade 360°.
Ist die Anzahl der Seiten einer Grenz
fläche = n, die Länge der Seite = s, so
ist der Umfang einer Grenzfläche = ns.
Um jede Grenzfläche läfst sich ein Kreis
beschreiben; ist dessen Halbmesser = r,,
so ist die Normale auf die Seite =
j/r, 2 — •!**, also der Flächeninhalt einer
Grenzfläche = %ns j/r, 2 — ¿s 2 .
Um jedes regelmäfsige P. läfst sich eine
Kugel beschreiben; ist deren Halbmesser
= r, eine von dem Mittelpunkt auf die
Grenzfläche gefällte Normale ist = |/r*-r, 2 ;
setzt man nun den Inhalt der Grenz
fläche = F, die Anzahl derselben = IV,
so ist der Inhalt des P.
= J = fr NF ]/r* — r, 2 .
18. Das regelmäfsige P., welches drei
Dreiecke für jede Ecke hat, heifst Tetra
eder (lugccg vier) weil es vier Grenz
flächen hat.
Das regelmäfsige P., welches vier Drei
ecke für jede Ecke hat, heifst Oktaeder
(Oxins acht) weil es acht Grenzflächen
hat.
Das regelmäfsige P., welches fünf Drei-,
ecke für jede Ecke hat, heifst Ikosaeder
(Eixoanma Zeit von 20 Jahren), weil es
zwanzig Flächen hat.
Das regelmäfsige P., welches drei Qua
drate für jede Ecke hat, heifst Hexaeder
(Eßatiin Zeit von 6 Jahren) w'eil es sechs
Flächen hat.
Das regelmäfsige P., welches drei Fünf-,
ecke für jede Ecke hat, heifst Dodeka
eder (ztcuJtza zwölf) weil es zwölf Flä
chen hat.
19. Den Neigungswinkel zweier
aneinander liegenden Grenzflä
chen eines regelmäfsigen P. zu
finden.
Der Neigungswinkel zweier Ebenen
wird mit Hülfe eines Körperdreiecks ge
funden, wie dies in dem Art. „Paral-
lelepipedum“ No. 11, pag. 244 mit
Fig. 883 geschehen ist.
Es sei, Fig. 895, E eine Ecke eines
regelmäfsigen P., die Anzahl der die Ecke
bildenden ebenen Winkel sei = «, aus E
beschreibe man mit beliebigem Halbmes
ser eine Kugel, EA, EB ... seien die
von der Kugel abgeschnittenen Kanten
stücke, ABCDF sei das auf den Grenz-
