Polyeder. 
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Polyeder. 
Construirt man nun ebenso Polygon 
seiten auf den drei übrigen Quadranten 
BF, FD, DK, desgleichen in der zweiten 
Halbkugel, so erhält man das verlangte 
aus lauter Pyramiden zusammengesetzte 
Polyeder, welches mit seiner Oberfläche 
die kleinere Kugel nicht berührt. 
Euklid macht den Beweis etwas weit 
läufig: In dem ersten Theil beweist er, 
dafs die vier- und dreiseitigen 
Umfangs-Fig nren Ebenen sind: 
Er fällt deshalb für das Yiereck BLIL’ 
die Normalen la, L'b auf die Grundebene 
BF DE, welche 4= sind und auch die 
Durchschnittslinien BD, LO treffen und 
zieht ab. Da Bogen BL’ — LI, so ist 
Z_CBL = Z_CLI, bei a und b sind rechte 
Winkel, auch ist L’B — IL, folglich ist 
L’b = la und Bb — La-, 
also auch Cb = Ca 
folglich Bb : bB — La aC 
folglich ab + LB 
Nun war L’B + und = la 
Fig. 899. 
BDx Bd = QLB 
ebenso ist Del x BD = [JclL 
Also {JLB <2\J dL 
und da nach Obigem 
QLB>2QBc 
so ist □ dL > □ Bc 
Da nun UBC = UBc-\-UcC 
und QLC = [3Ld + \jCd 
aber BC — LC 
folglich ab = und 4= W 
folglich ist auch lL’ =F LB 
Eben so wird bewiesen dafs mM’ + lL’, 
nN’ + mM\ 
Da lL' d= BL, so ist das Yiereck IL’BL 
in einer Ebene und so ist auch jede der 
anderen Vierecke in einer Ebene. 
Um zu beweisen, dafs die Ebene 
LlL’B die innere Kugel fl äche nicht 
berührt, hat man nur zu zeigen, dafs 
die kleinste Entfernung, der Abstand der 
selben von C kleiner ist als der Halb 
messer CG der inneren Kugel. Dieser 
Abstand ist aber offenbar die Normale 
Cc von C auf LWB. 
Nun ist □ßC = DcC + Dcß 
ebenso □Z,C = (UcC + DcL 
Da nun BC = LC 
so ist [JCB = QCL und CB = cL 
Es gilt dies von den beiden anderen 
Punkten des Vierecks ebenfalls und folg 
lich hat man cB = cL’ = cl=cL 
Es läfst sich also aus c um das Vier 
eck ein Kreis beschreiben. 
Nun ist BL > ba, ba = lL’ also BL >!L’. 
Da nun BL == LI = BL', so ist der zur 
Sehne IL’ gehörige Bogen der kleinste, 
ZLcB ist stumpf und \JLB >2\JBc. 
Fälle (Fig. 899) die Normale Ld. Da 
nun BD < 2Dd, 
und BD : Dd = BD X Bd : Dd X Bd 
so ist BD X Bd <2 Ddx Bd 
Zieht man nun die LD, so ist 
also UBC = ULC 
so ist OBc + acC = OLd + C\Cd 
Nun war \Z\Ld >QBc 
folglich ist □ Cc > □ Cd 
Also Cc > Cd 
folglich noch viel mehr Cc> CG 
woraus hervor geht, dafs die Oberfläche 
des P. die Oberfläche der inneren Kugel 
nicht berührt. 
2. Aufgabe. Ein Tetraeder , wel 
ches sich von einer gegebenen 
Kugel umfassen läfst, zu constru- 
iren. 
Es sei AB der Durchmesser der gege : 
benen Kugel, theile denselben in drei 
gleiche Theile, in einem der Theilpunkte 
C errichte eine Normale auf AB bis in 
den Umfang des Kreises. 
Fig. 900. 
Beschreibe nun um einen beliebigen 
Punkt H mit CD als Halbmesser 'einen 
Kreis, constrnire darin das gleichseitige 
Dreieck EFG, ziehe EH, FH, GH, er-