Polygon. 
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Polygon. 
jedes folgende Dreieck in dem vorher an- 
schliefsenden in der gemeinschaftlichen 
Seite schon ein Bestimmungsstück mit 
erhielte. Also nur ein Dreieck bedarf 
dreier, von den übrigen jedes Dreieck 
nur zweier Bestimmungsstücke; das P. 
folglich 3 -f 2 (n — 3) = 2n — 3 Bestim 
mungsstücke. 
Zu den Bestimmungsstücken eines 
Dreiecks gehört mindestens eine Seite; 
es würde also zur Bestimmung eines P. 
ebenfalls nur eine Seite erforder 
lich sein, wenn die übrigen Bestim 
mungsstücke aus den Winkeln beständen, 
welche die aus einer einzigen Spitze ge 
zogenen Diagonalen mit einander bilden. 
Da dies aber wohl nur aus Kuriosität 
einmal Vorkommen könnte, so sind min 
destens so viele Seiten, als Dreiecke vor 
handen sind, also mindestens n — 2 Sei 
ten, erforderlich. 
Dem Art. „Congruenz der Drei 
ecke,“ pag. 43, zufolge sind Dreiecke 
nicht congruent, wenn zwei Seiten und 
der der kleineren von beiden gegen 
überliegende Winkel einander gleich sind, 
es entstehen zwei verschiedene Dreiecke, 
die beide der Bedingung genügen. Es 
ist demnach auch bei den Polygonen 
zweifelhaft, ob die gegebenen 2n — 3 Be 
stimmungsstücke auch genügende Be 
stimmungsstücke sind. 
Regelmäfsige Polygone. 
16. Ein regelmäfsiges P. ist ein P. von 
lauter gleichen Seiten und gleichen Win 
keln ; deren Anzahl ist unbegrenzt. 
Die Summe sämmtlicher P.winkel ist 
(2 n — 4) ß, 
jeder P.winkel also = ß. 
4 
Jeder Nebenwinkel ist = — ß, 
n 
jeder Aufsenwinkel = ——— R 
der Unterschied zwischen dem P.winkel 
und seinem Nebenwinkel ist = 2 R, 
n 
der Unterschied zwischen dem P.winkel 
g 
und seinem äufseren Winkel = — R. 
n 
Die Winkel eines regelmäfsigen P. sind 
nur hohl und stumpf, die Nebenwinkel 
nur spitz, die Aufsenwinkel nur erhaben. 
Jedes regelmäfsige P. liegt in und um 
einen Kreis, beide Kreise haben densel 
ben Mittelpunkt und dieser ist zugleich 
der Mittelpunkt des P. Dieser Mit 
telpunkt liegt in einem Durchschnitts 
punkt der Halbirungslinien zweier ein 
ander nicht gegenüber liegenden Seiten 
oder Winkel. Die Normalen auf den Sei 
ten in deren Mitten errichtet und die 
Halbirungslinien aller Winkel schneiden 
sich alle in einem Punkt, dem Mittel 
punkt. 
17. Zwischen zwei concentrischen Krei 
sen, so nahe sie auch an einander liegen 
mögen, ist im gröfseren immer noch ein 
regelmäfsiges P. denkbar, dessen Seiten 
die Peripherie des Kleineren weder schnei 
den noch berühren. 
Denn denkt man sich an einem belie 
bigen Punkt des kleineren Kreises eine 
Tangente und diese von beiden Seiten 
bis zum Umfang des gröfseren Kreises 
gezogen, so wird diese Sehne des grö 
fseren Kreises, und es lassen sich Ф mit 
derselben noch viele kleinere Sehnen zie 
hen, die also von dem Umfang des klei 
neren fern liegen. Unter allen diesen 
kleineren Sehnen läfst sich aber offenbar 
eine ermitteln, von deren Bogen der 
Kreisumfang ein ganzes Vielfaches ist 
und man hat in sämmtlichen Sehnen 
dieser Bogen das verlangte P. 
18. Zwischen zwei concentrischen Krei 
sen, so nahe sie auch an einander liegen 
mögen, ist um den kleineren immer noch 
ein regelmäfsiges P. denkbar, dessen 
Spitzen innerhalb der Peripherie des grö 
fseren Kreises liegen ohne dieselbe zu 
berühren. 
Der Beweis wie der zu dem vorigen 
Satz. 
19 Zwischen dem Inhalt A eines re 
gelmäfsigen P. um einen Kreis und dem 
Inhalt a eines ähnlichen P in demselben 
ist der Inhalt b des regelmäfsigen P. von 
doppelt so viel Seiten in eben diesem 
Kreis die mittlere geometrische Propor 
tionalfläche also A : b = b : a. 
Ist die Seitenzahl von A, also auch 
von a = n, so ist die von b = 2n, A und 
a bestehen aus n, b aus 2n congruenten 
Dreiecken. 
Stellt Fig. 908 diese Dreiecke dar, so 
dafs 
Fig. 908.