Polynomischer Satz. 
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Polynomischer Satz. 
(a±6±c±d± .... z) n 
Bezeichnet man sämmtliche Glieder 
vom zweiten ab mit einem einzigen Zei 
chen x, so hat man («t ± x)' 1 , folglich die 
Aufgabe des binomischen Satzes. 
Die in ihren einzelnen Gliedern ent 
wickelte nte Potenz eines Binoms ent 
hält (n +1) Glieder und zwar beide Ele 
mente a und 6 in allen möglichen Com- 
binationen mit Wiederholungen a m b n ~ m 
und a" ~ m b"‘ von 0 bis n. Dies Gesetz 
geht bei 3 Gliedern auf 3, bei m Gliedern 
auf m Elemente über; daher hat ein Po 
lynom von m Elementen zur nten Potenz 
entwickelt (nach dem Art. „Combina 
tion“, pag. 36) 
K _ m ( m + 1) (•» + 2) .... (m + n - 1) , 
¿v _ — Glieder 
(1) 
2. Um das Gesetz der Bildung einer dienen: 
solchen Potenzenreihe vorläufig anschau- (a + b + c + d) 4 
lieh zu haben möge folgendes Beispiel Man erhält 
a 4 + 4« 3 6 + 4a 3 c + 4a 3 d + 6a 2 6 2 + 6 er 3 c 2 + 6 + 12 a 2 bc + 12a J 6d + 12a 2 cd + iab 3 
+ 4ac 3 + 4 ad 3 + 12 ab'c + 12 ab*d + 12 «6c 1 + 12 abd* + 12 ac i d+ \2acd* + 24 abcd 
+ 6 4 + 4 6 3 c + 4 b 3 d + 6 6 a c* + 6b*d* + 12 b'cd + 46c 3 + 46 d 3 + 126c*rf + 12 bed 1 
+ c 4 + c 3 d + c y d* + cd 3 
+ d 4 
Die erste Abtheilung mit dem ersten 
Gliede a hat 4 Elemente und die dritte 
Ordnung, weil zu dieser a nicht hinzu 
gezählt werden kann, 
also ^ ^ Jj = 20 Glieder 
Die zweite Abtheilung mit 
dem ersten Gliede 6 hat 3 Ele 
mente und die dritte Ordnung, 
3.4.5 
also 2 -g = 10 Glieder 
Die dritte Abtheilung mit 
dem ersten Gliede c hat 2 Ele 
mente und die dritte Ordnung 
2*3*4: 
mithin -——5 = . . . . 4 Glieder 
1*6*0 
Die vierte Abtheilung mit 
dem einzigen Gliede (1 Ele 
ment und dritte Ordnung) . 1 Glied 
Summa 35 Glieder 
Die ganze Potenz hat 4 Elemente mit 
4ter Ordnung, mithin = 35 Glie- 
1•2«3 «4 
der. 
3. DieAnzahl der Elemente soll 
immer mit m, die Summe der Ein 
heiten des Potenzexponenten im 
mer mit n bezeichnet werden. Ex 
ponent immermitl, Elementim- 
mer mit E. 
4. n ist zugleich die Anzahl der Di 
mensionen jedes Gliedes: 
a"b\ a‘~ m c; a n ~ S bcd u. s. w. 
Ist in>n, so kann folglich jedes ein 
zelne Glied höchstens n einzelne E ent 
halten. Hat kein E eines Gliedes einen 
X, so fehlen (m — n) JE. 
(« + 6 + c + d + e) 3 kann a 3 , a*c, ad*, abc, 
ede enthalten, nicht aber a*6*, cd*e. 
Ist m<n, so mufs in jedem Gliede 
mindestens ein E in Potenz Vorkommen. 
(a + 6 + c) 4 hat nur Glieder wie a'bc, 
ab 3 , c 4 . 
Eine Potenz in welcher m — n ist, 
heifst eine vollständige Potenz. 
5. Zu Erlangung einer gewissen Ge 
wandtheit in der practischen Handhabung 
für Ausübung der Hauptregel zur Zu 
sammenstellung einer geordneten Reihe 
von Gliedern der Potenz eines Polynoms, 
soll hier ein etwas ausgedehnteres Bei 
spiel als Richtschnur vorangestellt wer 
den, nämlich das Beispiel 
(a + 6 + c + rf + e + /' + gr + A) 8 
Das Polynom hat 8 Glieder, es soll 
zur 8ten Potenz erhoben werden, und die 
Potenz ist eine vollständige. 
Nach N0. 2 beträgt die Anzahl der Glie 
der: 
1. Der ganzen Potenz = 
8 • 9-10*11.12-13.14*15 
1-2-3- 4•5 • 6 . 7 .T 
2. Der ersten Abtheilung mit dem ersten 
= 6435 Glieder