Kettenlinie. 
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Kettenlinie. 
Ausdrucks nach x wird dann ~ bestim 
men und die Gleichung der Kettenlinie 
bekannt sein. Ist dagegen V als Func 
tion von y gegeben, so ergibt das Inte 
gral ^ die Gleichung der Kettenlinie. 
Ist aber drittens V als eine Function 
vom Bogen v bestimmt, so mufs das Dif 
ferenzial in Beziehung auf v angegeben 
werden Es ist aber nach dem Art. „Cur- 
venlehre“ V. pag. 191 
Die Gleichung für die Kettenlinie in 
diesem Fall ist 
by _dy bx 
dv dx dv 
(4) 
\dx 1 
S) 
Mithin nach Gleichung 3 und 4 
(l) 
\V) S 
bj¿_ 
9» 
Es ist ebenso 
(!) 
(5) 
(6) 
Bx _ 9a: 9y _ 
dv by bv (by\ 
\9 x) 
folglich nach Gleichung 3 und 5 
9a: V V 
9t " y s z + V 2 ' ~S ~ ] /s i + V* 
3. Die Gestalt der Kettenlinie 
zu bestimmen, wenn die Gewichte 
darauf so vertheilt sind, dafs die 
auf die einzelnen Theile dersel 
ben kommenden Gewichte wie die 
Projectionen dieser Theile auf 
eine Horizontale sich verhalten. 
Das Gewicht, welches auf einen Bogen 
kommt, dessen horizontale Projection die 
Längeneinheit ist, sei = p, so ist das Ge 
wicht des Bogens CE, weil y seine IIo- 
rizontalprojection ist, = py. Setzt man 
diesen Worth für V in Gleichung 3, so 
erhält man 
by = _S 
dx py 
dx _ 1 _ py 
by 19 u\ S 
hieraus 
(7) 
v 2 2S 
y l X 
p 
Folglich ist die Kettenlinie bei 
der angenommenen Vertheilung 
des Gewichts eine Parabel, deren 
2S 
Parameter = — ist. 
P 
Es sei c die Länge einer Linie, auf 
welcher ein Gewicht dergestalt vertheilt 
ist, dafs auf jede Längeneinheit = p 
kommt und dies so vertheilte Gewicht sei 
= der Spannung im Scheitel, so ist cp = S. 
Diesen Werth von S in Gleichung 7 sub 
stituid, ergibt 
y* = 2ea; (8) 
Sind CJ = h und AJ =1 die Coordina- 
ten des Anfangspunkts A der Ketten 
linie, so wird für x = h und y = 1 
P = 2 ch 
P 
woraus 2c = — 
Diesen Werth in Gleichung 8 substi 
tuid, gibt 
y‘ i = -j¿ x (9) 
Zur Bestimmung der Länge des Bo 
gens CE = v hat man die Gleichung 4: 
!~:=i/^l1 
also 
Nun ist 
° = Jl/ 1+ (!)’ 9 * 
y=‘]h 
folglich 
(10) 
by l 1 
9a: \'h 2]/x 
Diesen Werth in die Integralformel 
substituid, gibt 
-Si 
(io 
Setzt man, um das zu integrirende 
Differenzial rational zu machen. 
1/ 
1 + 4 
P 
1 
(!) 
Folglich ist x = / ~by={^ r y i 
wo die Constante wegfällt, weil für y — 0 
auch x = 0 wird. 
4 h s 2 — 
P 
so wird . , „ ^ 
2s 
(^1)* 
Substituirt man diesen Werth in die 
Integralformel 11, so erhält man 
und daher ^ — 
oí 4A 
_ ü 
2AV(s*-1) 2