Proportion. 
319 
Proportionalität. 
die Art. „Harmonische P. und con- 
traharmonische P.“ 
Der Uebelstand, dafs wenn die Propor 
tionalität zweier Arten von Gröfsen für 
den Fall bewiesen ist, wo die Gröfsen 
jeder Art commensurabel sind, dafs es 
dann auch noch für den Fall, wo sie in- 
commensurabel sind, geschehen mufs, 
veranlafst ein allgemeines Kennzeichen 
aufzusuchen, für welches zwei Gröfsen 
der einen Art mit zweien Gröfsen der 
anderen Art proportional sind, diese Grö 
fsen mögen commensurabel oder incom- 
mensurabel sein, wenn nämlich bei ihnen 
dieses Kennzeichen wahrzunehmen ist. 
Zwei Gröfsen einer Art sind nämlich 
mit zweien Gröfsen einer andern Art 
proportional, wenn sie so Zusammenhän 
gen, dafs immer je zwei Gröfsen der einen 
Art dasselbe Verhältnifs haben, als die 
beiden ihnen einzeln angehörigen mit 
ihnen zusammenhängenden Gröfsen der 
anderen Art. 
Das Kennzeichen der Proportionalität 
derselben ist nun das, dafs die Ganzen 
der einen Art auch zu den Ganzen der 
anderen Art gehören müssen. Man denke 
sich ein Dreieck afg, in diesem zwei mit 
fg parallele Linien bd und ce gezogen, 
so hangen die beiden von den Seiten 
abgeschnittenen Stücke ab, bc der einen 
mit denen ad, de der zweiten Seite so 
zusammen, dafs ad und de als Gerade 
der anderen Art proportional sind, wenn 
die Summen ab + bc und ad + de. Da 
dies nun hier ist, so sind die genannten 
Geraden proportional. Zu erweisen ist 
nun allgemein der Lehrsatz. 
Zwei Arten von Geraden sind propor 
tional, wenn zu den Ganzen zweier Ge 
raden der ersten Art immer auf das 
Ganze zweier jenen einzelnen angehöri- 
§ en oder mit ihnen zusammenhängenden 
rröfsen der anderen Art gehört; oder 
wenn zwei Gröfsen a K b von einer mit 
zwei Gröfsen A und B, jenen einzeln zu 
gehörig, von anderer Art in solcher Be 
ziehung stehen, dafs gleichwie zu den 
einzelnen Gröfsen a und b, respective 
die Gröfsen A und B stehen, auch zu 
dem Ganzen jener - a -\- b immer das 
Ganze dieser Gröfsen = A + B gehörig 
ist, so sind die Gröfsen a und b den 
Gröfsen A und B proportional und man 
hat a : b = A : B. 
Art. Es sei ferner b = ma, so ist a -f b 
= (in + 1) a. Sind nun A und B Gröfsen 
anderer Klasse und stehen mit a und b 
in gleicher Beziehung und es findet zwi 
schen A + B dieselbe Beziehung zu a + b 
statt, d. h. A -f B ist = (m + 1) A, so sind 
A, B und a, b proportional, denn aus 
A + B = (m + 1) A folgt B = mA, also 
dasselbe Vielfache von A wie b von a 
ist. Also a \ b — A : B. 
111 № 
Ist b — — a, also b -f a = — « + « 
n n 
»-f m 
n 
_ . , n 4- m . 
Ist nun A + B auch = A, so 
n 
folgt B - — A, mithin a : b = A : B. 
Folglich besteht die Proportionalität 
bei obiger Voraussetzung, wenn die Grö 
fsen commensurabel sind. 
Sind die Gröfsen einerlei Art incom- 
m 
>— a 
mensurabel, d. h. b ™ , also 
in 4- 1 
< — a 
n 
b + a 
n -f in 
> a 
»+m+ 1 Und es ist B + “ 
< a 
n 
ebenfalls 
m + n . 
> — 1 — A 
n 
n + m 4-1 . 
<— — A 
so folgt aus 
m 
> —- a 
letzterem/? , j , d. h. es sind in 
<—i- a 
n 
dem Verhältnifs a : b = A : B die Hinter 
glieder immer zwischen denselben Viel 
fachen ihrer Vorderglieder begriffen, sie 
haben also gleich irrationale Verhältnifs- 
namen, sind mithin einander gleich und 
man hat daher auch in diesem Falle 
a : b — A : B. 
Proportionale, mittlere, zwischen zwei 
Zahlen. Die mittlere arithmetische ist 
die halbe Summe beider Zahlen, die mitt 
lere geometrische ist die Quadratwurzel 
aus deren Product. 
Beweis. Es sei b = a, so ist der Vor 
aussetzung nach B — A, und es gehört 
dann zu a + b = a + a — 2a die Gröfse 
A + A = 2A, d. h. das Ganze der einen 
Art eben so abhängig wie die Einzelnen 
der einen zu dem einzelnen der anderen 
Proportionale Spirale, s. v. w. „lo- 
garithmische Spirale“. 
Proportionalität, der Bestand zweier 
Zahlen in irgend einer der gedachten 
Proportionen.