Pyramide. 
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Pyramide. 
Daher ist auch 
BC : bc = BF : bf. 
Mithin sind die Seitenflächen BCF und 
bcf nach zwei Seiten und dem einge 
schlossenen Winkel ähnlich. Man kann 
also von diesen Seitenflächen wie von 
den zuerst betrachteten ausgehend auf 
die Aehnlichkeit der übrigen homologen 
Seitenflächen und auf deren gleiche Nei 
gung gegen die Grundflächen schliefsen, 
und so folgt dann, dafs in beiden Pyra 
miden alle Winkel und Ecken gleich und 
alle homologen Längenabmessungen pro 
portional sind. 
6. Aehnliche Pyramiden verhalten sich 
wie die Cubi homologer Längenabmes 
sungen. 
Denn fällt man von den Spitzen der 
Pyramiden Lothe auf ihre Grundflächen, 
so folgt wie früher bei den Prismen, dafs 
die homologen Seitenkanten diese Lothe 
und die Projectionen jener Seitenkanten 
auf den Grundflächen ähnliche Dreiecke 
bilden. Bezeichnen H und h die Höhen 
der beiden Pyramiden, deren Inhalte P 
und p sein mögen, und sind A und a 
homologe Seitenkanteu und G und g die 
Grundflächen der Pyramiden, so hat man 
P=%HG und p = f s hg. 
Daher P: p = HG : hg 
und A : a — H : h 
Nun sind die homologen Seitenkanten 
den Grundkanten proportional, folglich 
verhalten sich die Quadrate der homolo 
gen Seitenkanten wie die Quadrate der 
homologen Grundkanten, die letzten ver 
halten sich aber wie die Grundflächen«- 
Man hat hat also 
A 2 :a 2 = G.g. 
Setzt man diese Proportion mit der 
obigen 
A:a = H:h 
zusammen, so ergibt sich 
A 3 : a 3 = HG : hg = P:p. 
Da nun in ähnlichen Pyramiden alle 
homologen Längenabmessungen also auch 
ihre Cuben proportional sind, so verhal 
ten sich allgemein die Inhalte der Py 
ramiden wie die Cuben homologer Län 
genabmessungen. 
Die Oberfläche einer regulären Pyra 
mide wird trigonometrisch leicht gefunden. 
Jede der Seitenflächen ist ein gleich 
schenkliges Dreieck, dessen Grundlinie 
die Seite eines regulären Vielecks der 
Grundfläche und die Höhe der Hypote 
nuse in dem rechtwinkligen Dreieck ist, 
dessen Cathete die Höhe der Pyramide 
und die Senkrechte aus dem Mittelpunkt 
auf die Seite der Grundfläche sind. 
Der Halbmesser der Grundfläche sei r, 
die Höhe = h, der halbe Centriwinkel 
= cp, so ist der Inhalt eines der Dreiecke 
= r sin cp V(r 2 cos 2 cp + h 2 ), und die Summe 
aller Seitenflächen = nr sin cpy(r 2 cos 2 cp-\- h 2 ) 
wo n die Anzahl derselben ist. Die Grund 
fläche ist = nr 2 sin cp • cos cp. 
Die Seitenflächen einer gleichförmigen 
Pyramide sind gegen die Grundfläche 
unter einem Winkel geneigt, dessen Tan 
gente = . 
r cos cp 
Die Seitenlinien der Pyramide machen 
mit den Seiten der Grundfläche einen 
Winkel, dessen Tangente = ist 
j/(r 2 cos 2 cp -f h 2 ) 
r sin cp 
Der Neigungswinkel der Seitenflächen 
sei = a, 
so ist 
\/(r 2 cos 2 cp -f h 2 ) = r cos cp y(l + tg 2 «) = r cos cp • sec cc = 
r cos cp 
cos cc 
daher die Summe aller Seitenflächen 
nr 2 sin cp • cos cp nr 2 sin 2 cp 
cos k 2 cos n 
Die Seitenlinien der Pyramide machen 
mit den Seiten der Grundfläche den Win 
kel, dessen Tangente = ist ,ol( f 
’ b cos n 
7. Es sei CABEDFG ein abgekürztes 
Pyramidenstück, dessen Grundflächen 
CAB, FDE parallel sind, es soll der In 
halt gefunden werden aus dem was an 
dem Stück gemessen werden kann. 
Dieses sind die Seitenlinien der beiden 
parallelen Flächen und die Winkel ihrer 
Seiten, woraus der Inhalt derselben ge- 
Fig. 934,