Körpertrigonometrie. 
Körpertrigonometrie. 48 
und so für die beiden anderen Kanten 
winkel. 
24 Werden von einem Punkt einer 
geraden Linie drei unter sich normale 
Linien gezogen, so ist die Summe der 
Quadrate der Cosinus von den Winkeln, 
welche die erstgenannten Linie mit den 
3 Normalen macht, = 1. 
Aus dem Punkt A der Geraden Aß 
seien die unter sich Normalen AC, AD, 
AE gezogen, so dafs ZCAD — ZCAE 
= ZDAE = R. zBAC = a, ZBAE = ß, 
ZBAD-y. Von einem Punkt B der 
Fig. 743. 
Geraden AB fälle auf die Ebene CAE 
die Normale BF und auf die Geraden 
AC, AE die Normalen BC, BE. Zieht 
man dann die Verbindungslinien CF, EF, 
so ist ACEF ein Rechteck. Zieht man 
noch AF, so ist auch ZAFB ein rechter 
und /_ABF=y. Man hat also 
AC— AB cos cc 
AE=AB cos ß 
BF = AB cos ABF— AB • cos y 
Nun ist 
AF 2 =AC 2 + AE 2 = AB 2 -cos 2 « + AB 2 -cos 2 ß 
= AB 2 (cos 2 « -f- cos 2 ß) 
woraus 
AB 2 =AF 2 + BF 2 -AB 2 (cos 2 « + cos 2 ß) 
+ AB 2 • cos 2 y 
folglich cos 2 « -)- cos 2 ß 4- cos 2 y = 1 
Sind die Winkel n, ß, y stumpf, so 
verlängere man die Normalen AC, AD, 
AE über den Punkt A hinaus, so ent 
stehen unterhalb spitze Winkel 180°-«, 
180°—ß, 180°— y. Für die Cosinus die 
ser Winkel gilt dann der eben geführte 
Beweis. Nun ist aber cos (180°— o) = - cos « 
u. s. w. Folglich cos 2 (180°-«)= cos 2 « 
u. s. w. Folglich gilt der Satz auch für 
stumpfe Winkel. 
25. Werden durch den Durchschnitts 
punkt zweier Geraden drei unter sich 
normale Linien gezogen, so ist die Summe 
der Producte der Cosinus von den Win 
keln, welche die beiden erst genannten 
Geraden mit jeder der Normalen machen, 
gleich dem Cosinus des von den beiden 
Geraden unter sich bildenden Winkels. 
D. h. Wenn die eine Gerade mit den 
drei Normalen die Winkel «, ß, y, die 
andere Gerade mit denselben Normalen 
die Winkel «', ß', y' bildet und der Win 
kel zwischen beiden Geraden = cp ist, so 
hat man 
cos tp = cos cccos «’-[-cos ß-cosß’ + cos ycosy' 
AB und AC sind die beiden Geraden, 
deren Winkel = cp, AD, AE, AF die drei 
unter sich Normalen; /_BAD = n, ZBAE 
= ß, Z.BAF=y, z.CAD = n ’, Z.CAE=ß', 
ZCAF — y'. Man nehme auf AB, AC 
zwei Stücke ylB = AC fälle von B und C 
auf die Ebene DAE die Lothe BG und 
CH, von G und H auf AE die Lothe 
GK und IIJ und auf AD die Lothe GL 
und HM, ziehe BO 4= GH. Dann hat man 
im AABC 
Fig. 744. 
BC 2 = Aß 2 -\- AC 2 - 2/1/i* ACcos <p 
oder da AB = AC 
BC 2 =2A B 2 (1 — cos cp) 
Ferner ist 
BG = AB • cos ABG- AB> cosy 
CH= AC• cosy'=AB • cosy' 
hieraus CO —CH — BG— AB {cosy'—cosy)