Kräfte im Gleichgewicht. 58 Kräfte im Gleichgewicht. 
Denn wollte man annehmen, sie liegen 
der einen Seitenkraft näher, so hätte man 
denselben Grund für die Annahme, dafs 
sie der andern Seitenkraft eben so nahe 
liegt; beides aber ist nur möglich wenn 
sie gegen beide Seitenkräfte eine gleiche 
Lage hat. 
8. Werden auf den Richtungen 
zweierau feinen materiellen Punkt 
wirkenden Kräfte von dem mate 
riellen Punkt aus zwei Längen 
enommen, die sich wie die nach 
enselben Richtungen wirkenden 
Kräfte verhalten, und man vollen- 
det zu diesen ais anliegenden Sei 
ten das Parallelogramm, so ist 
die durch den materiellen Punkt 
gezogene Diagonale desselben die 
Richtung der Mittelkraft. 
Duchayla beweist diesen Satz, indem 
er erst zeigt, dafs wenn er gültig ist 
zwischen einer Kraft P und einer Kraft 
Q, ferner für dieselbe Kraft P und einer 
anderen Kraft Q\ dafs er dann auch für 
die Kraft P und die Kraft (?+(?' rich 
tig ist. 
Fig. 748. 
Es wirke auf den materiellen Punkt A 
nach der Richtung AB die Kraft P, nach 
der Richtung AH die Kraft Q und die 
Kraft Q'\ es sei ferner 
AB ; AC: CH = P : Q : Q' 
so betrachte man zuerst die beiden Kräfte 
Fund Q für sich allein. Man construire 
also das Parallelogram ABCD, ziehe die 
Diagonale AD, so ist nach Voraussetzung 
diese die Richtung der den Seitenkräften 
Fund Q zugehörigen Mittelkraft M. Nun 
kann man statt der Kräfte P und Q die 
Mittelkraft M allein thätig denken, und 
deren Angriffspunkt A nach jedem be 
liebigen anderen Punkt der Linie AD, 
also z. B. nach D verlegen, so dafs M 
in D nach DE, der Verlängerung von 
AD wirkt. Man kann jetzt statt der Mit 
telkraft M wieder deren Seitenkräfte P 
und Q, erstere #= AB nach DF, der Ver 
längerung von CD und letztere F 4C 
nach DJ, der Verlängerung von BD auf 
den Punkt D wirken lassen und die Wir 
kung auf den materiellen Punkt A bleibt 
dieselbe wie zu Anfang. 
Betrachtet man nun die beiden Kräfte 
P und Q’ für sich allein, so kann man 
letztere Kraft von dem Angriffspunkt A 
nach dem Punkt C verlegen, und die 
selbe dort nach ungeänderter Richtung 
CH wirken lassen; desgleichen die in D 
nach DF wirkende Kraft P nach dem 
selben Punkt C mit der ungeänderten 
Richtung CF. Nun sind CD : CH = P; Q' 
vollendet man also das Parallelogramm 
CDHJ, so ist der Voraussetzung nach 
CJ die Richtung der in dem Angriffs 
punkt C wirkenden beiden Kräften P und 
Q’ zugehörigen Mittelkraft M’. Statt der 
beiden Kräfte P und Q' kann man deren 
Mittelkraft M' in C nach CJ wirken las 
sen und diese Kraft M' nach jedem be 
liebigen Punkt der Linie, also auch nach 
dem Punkt J verlegen und nach JE, 
der Verlängerung von CJ wirken lassen. 
Endlich kann man die in dem Punkt J 
wirkende Kraft M' dort wieder in ihre 
Seitenkräfte P, nach JN der Verlänge 
rung von HJ gerichtet und Q’ nach JL, 
der Verlängerung von BJ gerichtet zer 
legen. Verlegt man nun noch den von 
der Kraft Q zuletzt behaupteteten An 
griffspunkt D ebenfalls nach J, so hat 
man in dem Angriffspunkt J nach der 
Richtung JN die Kraft P, nach JL die 
Kräfte Q und Q' wirkend. Diese 3 Kräfte 
in J wirkend sind aber nach und nach 
dahin der Art translocirt worden, dafs 
die Wirkung auf den anfänglichen An 
griffspunkt A ungeändert geblieben ist, 
und aus diesem Grunde mufs die Mittel 
kraft der in J wirkenden Kräfte P, Q 
und Q' durch den Punkt A gerichtet 
sein; d. h. die Richtung der diesen drei 
Kräften gleichgeltenden Mittelkraft ist 
die Diagonale AJ. 
Ist nun Q = Q’ = P, so ist nach Satz 7 
der Satz 8 für P und Q, so wie für P 
und Q' richtig, denn die die zwischen P 
und Q und zwischen P und Q' befindli 
chen Winkel halbirende Mittelkraftsrich 
tung ist die Diagonale. Mithin ist nach 
Satz 8 das Gesetz auch richtig für die 
Kräfte P und Q + Q', d. h. für P und 
2 P. Hierzu der Satz für die Kräfte P 
und P richtig, gibt den Schlufs, dafs der 
Satz auch für P und P-P2P. D. h. für 
P und 3P u. s. w. dafs der Satz für P