Kräfte im Gleichgewicht. 
60 Kräfte im Gleichgewicht. 
Macht man also AF = AC, verbindet Aus P, Q und /ß hat man dieselbe 
B mit F 
so ist A BAF sg A DCA, 
also BF rj= AD 
und zieht man FG d= AB, so ist nach 
Satz 9: AB : AG = P: R und da AG = AD 
so ist AD die Gröfse der zu P und Q 
gehörenden Mittelkraft. 
11. Das Parallelogramm, wel 
ches die Gröfse und Richtung der 
Mittelkraft zweier gegebenen Sei 
tenkräfte bestimmt, heifstdas Pa 
rallelogramm der Kräfte. 
12. Drei auf einen Punkt wir 
kende Kräfte, zwei Seitenkräfte 
und ihre Mittelkraft sind propor 
tional dem Sinus derWinkel, die 
die jedesmaligen anderen beiden 
Kräfte mit einander bilden; und 
gleiche Producte erhält man, wenn 
man von 2 Kräften jede mit dem 
Sinus des Winkels multiplicirt, 
d en sie mit derdritten Kraft bildet. 
Auflösung für «, y und R. 
Aus P, R und /iß oder /y dieselbe 
Auflösung für «, y oder ß und Q. 
Aus Q, R und /« oder /y dieselbe 
Auflösung für ß, y oder « und P. 
B. Sind 2 Seitenkräfte P, Q und der 
von ihnen eingeschlossene /y gegeben, 
so hat man in dem A ABD: 
AD 2 = AB 2 -\-BD 2 - 2 AB -BD-cos ABD 
oder 
AD 2 = AB 2 +BD 2 +2AB - BD - cos BAC 
also 
R 2 = P 2 + Q 2 -j- 2 PQ-cosy 
C. Ist eine Seitenkraft P und die Mit 
telkraft R mit dem von ihnen einge 
schlossenen /« gegeben, so hat man in 
dem A ABD 
BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 AB -AD-cos BAD 
oder 
Q 2 = P 2 + R 2 - 2P-R cos « 
Bei der Bezeichnung Fig. 750 ist: 
AB.AC:AD = P:Q:R 
Nun ist 
AB •. BD •. AD=sin ADB :sinBAD:sinABD 
D. Aus den gegebenen Seitenkräften 
P, Q und dem eingeschlossenen /« hat 
man in dem A ABD 
. _ BD sin ABD 
t9 Bj ~ AB - BD cos ABD 
sm y 
oder 
AB\ AC: AD= sinCAD: sin BAD: sinBAC 
also 
P : Q : R = sin ß : sin 
mithin auch 
P sin a = Q sin ß 
P sin y = R sin ß 
Q sin y — R sin cc 
13. Aus diesen drei Gleichungen lassen 
sich bei gegebenen 3 Stücken die übri 
gen drei Stücke finden. 
A. Sind zwei Kräfte und ein von ihnen 
nicht eingeschlossener Winkel gegeben, 
z. B. P, Q und Z« 
so hat man unmittelbar 
. a P . 
sm ß — — sm a 
hieraus /y = /« + /ß 
R = slny sinyp 
sin K sin ß 
oder 
tg n = 
Q sin y 
P+Qcosy 
P-\-Qcosy P 
oder cot a — —yr—- = -77 cosecy-ycoty 
Qstny v 
E. Aus der gegebenen Seitenkraft P, 
der Mittelkraft R und dem von ihnen 
eingeschlossenen /a hat man im AABD 
BD-sin BAD 
tg ADB = 
oder tg ß — 
AD — BD- cos BAD 
Q sin a 
R — Q cos n 
. R — Q cos« R 
oder cotß = — = — cosec «—cot n 
Q sm « Q 
F. Um die Formeln für cot« und cotß 
für Rechnung mit Logarithmen geeignet 
zu machen setze man — cosec y — der 
Cotangente eines Winkels ^ ; 
also log cot/u = log P—log Q -f log cosec y 
Ist hiernach /u bestimmt, so hat man 
* . 1 ■ cos u , cos y sin (y -f u) 
col a = cot u -f coly = ——— -f ——- — ——il—LJzi 
sin (x siny sin y • sin ¡x 
also log cot « = log sin (y -f- fj) — log sin y — log sin t u 
Ebenso hat man cosec « — cot iß gesetzt 
log cot ß = log sin (« — iß) — log sin iß — log sin «