Kräfte im Gleichgewicht. 63 Kräfte im Gleichgewicht. 
Kräfte, der Allgemeinheit der 
Untersuchung wegen in den vier 
verschiedenen Quadranten bele 
gen, alle auf den materiellen 
Punkt A wirkend. Der beliebig 
gelegene Punkt M sei der Mo- 
mentenpunkt, A und /1/ durch 
eine gerade Linie verbunden. 
Die Winkel der Kräfte mit der 
geraden Linie AM sind von die 
ser aus nach einerlei Richtung 
genommen mit «; « 2 ; « 3 ; 
Die von M auf die Kräfterich 
tungen gefällten Lothe mit p; 
p,- Pii Ps bezeichnet. Setzt 
man die Länge AM = a, die Mit 
telkraft sämmtlicher Kräfte = ft 
unter dem <j mit AM, so hat 
man nach No. 15 Formel 2. 
ft sin о = Г sin « + ft, sin a, -f P 2 sin u 2 -)- ft 3 sin a 3 -(-.... (1) 
P 
Nun hat man sin а = 
а 
Pi 
sin (c. = sin MAP. = —• 
а 
sin « a = sin MAP 2 = sin (MAp" + 180°) = — sin MAp" — — - 1 
sin ffj = sin (МАЛ' -f A'AP 3 ) = sin (360° — MAP 3 ) = — sin MAP 3 = — ^ 
Setzt man den Abstand des Momenten- diese Werthe in Gleichung 1 substituirt 
punkts von der Richtung der Mittelkraft entsteht die Gleichung 
= r, so hat man sin q = ± —, und alle 
11= r-p+r 
I P V 2 n .P 3 
Г 1 _ 1 2 
±rß = pft+p,ft, - p 2 l\ -p 3 ft 3 
womit der Satz als richtig nachgewiesen 
ist. 
18. Ist p = 0 oder 180°, so geht die 
Mittelkraft durch den Momentenpunkt, 
sin q ist =0 uud r = 0, die algebraische 
Summe der Seitenkräfte ebenfalls = 0- 
Wenn daher für irgend einen Momenten 
punkt die algebraische Summe der Mo 
mente der Kräfte = 0 wird, so kann dies 
daher rühren, dafs der Momentenpunkt 
in der Richtung der Mittelkraft liegt oder 
auch daher, dafs die Mittelkraft selbst 
= 0 ist, d. h. dafs die Kräfte das Gleich 
gewicht sich halten. 
19. Wenn Kräfte in einer leiEbene 
befindlich auf einen materiellen 
Punkt ft wirken und es ist die al- 
g e br ai s c h e S u m m e d e r e n M o nt e n t e 
für zwei Mo menten punkte M, M' 
genommen, die mit dem materiel 
len Punkt nicht in einer geraden 
Linie liegen, für jeden einzelnen 
= 0, so sind die Kräfte unter ein 
ander im Gleichgewicht. 
Da die algebraische Summe der Mo 
mente sämmtlicher Kräfte in Beziehung 
auf den Punkt M = 0 ist, so kann, wenn 
eine Mittelkraft ft existirt, diese nur 
nach der Linie PM gerichtet sein. 
Es existirt also keine durch die Linie 
PM 1 gerichtete Mittelkraft. Dasselbe fin 
det für den Momentenpunkt M' statt und 
es existirt also keine Mittelkraft durch 
die Linie PM. Da aber beides zugleich 
statt finden mufste und nicht statt fin 
den kann, nämlich dafs die Mittelkraft 
durch PM und zugleich durch PM' geht,