Kräfte im Gleichgewicht. 
72 Kräfte im Gleichgewicht. 
setze auf die Endpunkte D und E, nor 
mal DE zwei Paar einander entgegenge 
setzte und der Kraft P gleiche Kräfte 
Fig. 761. 
— P’, P” und P', — P”, so werden durch 
diese neu hinzugekommenen Kräfte die 
Wirkungen der ersten Kräfte nicht ge 
ändert. Nun ziehe die beiden Geraden 
AD und BE, so schneiden sich dieselben 
als Diagonalen eines Parallelogramms in 
ihrem beiderseitigen Halbirungspunkt C. 
Die beiden gleichen Kräfte P und P" in 
A und D lassen sich also zu einer durch 
C gerichteten, mit P und P" parallelen 
Mittelkraft = 2P zusammensetzen. Eben 
so setzen sich die beiden Kräfte — P und 
—P" zu einer durch C mit ihnen ge 
richteten Mittelkraft —2P zusammen. 
Aus den vier zuletzt betrachteten Kräf 
ten entstehen also zwei gleiche und ge 
rade entgegengesetzt gerichteten Kräfte 
2P und —2 P, die nun mit einander im 
Gleichgewicht sind und die also aus dem 
System hinweggenommen werden kön 
nen, ohne dafs die ursprünglich gegebene 
Wirkung gestört wird. Da nun bei sol 
cher Hinwegnahme die beiden Kräfte F 
und — P’ übrig bleiben, so wirken diese 
eben so wie die zuerst gegebenen Kräfte 
P und — P, womit der Satz erwiesen ist. 
Nimmt man 
3. eine in derselben Ebene mit AB be 
findliche ihr gleiche Linie D'E' mit den 
der Kraft P gleichen Kräften P, — P n so 
drehe diese Linie um deren Mitte F in 
die der AB parallele Lage DE, so ist 
nach dem ersten Theil des Satzes das 
an DE befindliche Kräftepaar mit dem 
an D’E’ befindlichen gleicngeltend; die 
ses aber nach dem zweiten Theil gleich 
geltend mit dem an AB befindlichen 
Kräftepaar, folglich das Kräftepaar an 
D’E’ gleichgeltend mit dem an AB und 
somit der Satz als allgemein gültig er 
wiesen. 
39. Zwei Kräftepaare in einerlei 
Ebene wirkend sind gleichgeltend, 
wenn das Product aus dem Ab 
stand des einen Paars und einem 
s e i n e r K r ä ft e d e m P r o d u c t d e r s e 1 - 
ben Factoren des anderen Paares 
gleich ist, und beide Paare nach 
derselbenSeite hin nachDrehung 
wirken; d. h. übereinstimmend ge 
richtet sind; oder diese Producte, 
Momente der Paare genannt, wenn 
ihre Momente gleich sind. 
Denn es sei .4/i (Fig. 762) der Abstand 
des einen Kräftepaars P und — P, CI) 
der Abstand des anderen Q und — Q und 
ABxP=CDxQ. Bringt man an die 
Kräfte Q und — Q die ihnen gleichen 
Kräfte Q' und — Q' entgegengesetzt, so 
sind diese 4 Kräfte im Gleichgewicht, 
und es bleibt für die Wirkung in der 
Ebene nur das Kräftepaar P und — P. 
Verlängert man nun AB bis E, so 
dafs BE = CD, so kann man nach No. 38, 3 
das Paar Q' und — Q’ so verlegen, dafs 
ihr Abstand BE ist; dann sind P und 
Q' nach einer und — P und — Q' nach 
der anderen Seite gerichtet. Da nun Q' = 
Q, BE = CD,xmdAB- P=CD• Q=BE-Q', 
so geht (nach Satz 37) die Mittelkraft von 
P und 0' durch B, ist 4= P und Q' und 
= P+ Q'. Dieser nun wirken gerade entge 
gengesetzt die Kräfte — P\ — Q' = — (P+ (>')) 
folglich sind die vier Kräfte P, - P, <J', 
— Q' im Gleichgewicht, ändern die Wir 
kung der an CD befindlichen Kräfte Q 
und — Q nicht, und folglich ist die Wir 
kung der Kräfte P und — P an AB = der 
Wirkung des an Cl) zurückgebliebenen 
Kräftepaars Q und - Q. 
Fig 762. 
40. Zwei Kräftepaare in einerlei 
Ebene sind einem Paare g 1 e,i c h - 
geltend, dessen Moment die al 
gebraische Summe der Momente 
beider ersten Paareist, wenn man 
bei gleichen Richtungen der Kräfte 
die Momente additiv, bei entge