Kreis. 
90 
Kreis. 
immer die der gröfsten JVE nähere grö- 
fser als die entferntere. Auch sind von 
solchen Linien nur je zwei auf beiden 
Seiten der kleinsten NB (heifst praeciser: 
des Durchmessers BE) einander gleich. 
Denn ad 1. In dem A NCF ist NC 
+ FC > NF, d. h. NE > NF. 
ad 3. In den Dreiecken NCF und NCM 
sind CF- CM und NC=NC aber Z_FCN 
>ZMCN, folglich NF>NM. 
ad 2. Es ist CN + HIN > CM, also auch 
>CN + BN, folglich HIN > BN. 
ad 4. Macht man Z.BCL — /_BCM, so 
ist in den Dreiecken CLN und CMN: 
NC = NC, CL = CM 
folglich &CLNm&CMN 
also LN—MN 
Gesetzt es wäre nun noch eine Linie 
FN = LN, so wäre auch FN = MN was 
gegen No. 3 des Satzes ist. 
Lehrsatz 8. Nimmt man aufserhalb 
eines Kreises (Fig. 775) ABC einen Punkt 
D und zieht von ihm an den Umkreis 
mehrere gerade Linien, eine DA durch 
den Mittelpunkt M, die übrigen beliebig, 
so ist unter denen, welche den hohlen 
Umkreis treffen, DA, DE, DF, DJ, die 
durch den Mittelpunkt DA die gröfste; 
von den übrigen aber immer die der gröfs 
ten DA nähere gröfser als die entfern 
tere. Unter denen hingegen, welche den 
erhabenen Umkreis treffen, DG, DK, DL, 
DH ist die, welche verlängert durch den 
Mittelpunkt geht, DG die kleinste, von 
den übrigen aber immer die der klein 
sten DG nähere kleiner als die entfern 
tere. Auch sind von solchen Linien nur 
je zwei auf beiden Seiten der kleinsten 
DG einander gleich. 
Denn ad 1 ist DM + EM > DE, 
also auch DM -f AM = AD > DE 
Fig. 775. 
ad 2. In den Dreiecken DME und 
DMF ist DM = DM, ME = MF, Z DME 
> Z DMF, folglich DE > DF. Die kleinste 
unter diesen Linien ist die berührende DE. 
ad 3. Es ist MK + DK > AID 
oder MG + DK > MG + DG 
folglich DK>DG 
Demnach ist DG die kleinste der den 
Umkreis blofs treffenden Linien. 
ad 4. Aus den Dreiecken DLM und 
DKM ergibt sich DL > DK, und die be 
rührende DB als die gröfste der den Um 
kreis blofs treffenden Linien. 
ad 5. Macht man ¿DMH = /_DML, 
so erhält man aus den congruenten Drei 
ecken DMH, DML , D1I = DL. Wollte 
man nun annehmen, es sei auf der lin 
ken Seite noch eine Linie, z. B. DK eben 
falls = DH, so widerspricht dem der vierte 
Theil des Satzes. 
Dasselbe findet statt mit den Durch 
schnittslinien DJ, DF, welche einander 
gleich sind, und dafs noch eine zweite 
Linie, etwa DE der Linie DJ gleich sein 
sollte widerspricht No. 4 dieses Satzes. 
Lehrsatz 9. Gehen (Fig. 775) von 
einem Punkt innerhalb eines Kreises an 
dem Umkreis mehr als zwei gleiche ge 
rade Linien, so ist solcher Punkt des 
Kreises Mittelpunkt. 
Denn ist NIE = MF= ML, und es wäre 
nun ein anderer Punkt als M, z. B. N 
der Mittelpunkt, so ziehe durch MN den 
Durchmesser AG. Dann wäre nach Lehr 
satz 7: MA > ME, ME > MF, MF> ML. 
Lehrsatz 10. Ein Kreis schneidet 
einen anderen in nicht mehr als zwei 
Punkten. 
Denn gesetzt, beide Kreise, Fig. 773, 
schnitten sich in den drei Punkten A, B, 
D, so ziehe AB und DB, halbire diese 
in G, H, errichte die Normalen GJ, HK, 
so liegt in diesen beiden, folglich in de 
ren Durchschnittspunkt der Mittelpunkt 
der beiden Kreise, welches nach Lehrsatz 
5 nicht möglich ist. 
Lehrsatz 11. Berühren zwei Kreise, 
Fig. 774, einander innerhalb, so trifft die 
beide Mittelpunkte verbindende gerade 
Linie genugsam verlängert, den Berüh 
rungspunkt. 
Denn ist K der Mittelpunkt des grö- 
fseren Kreises und der des kleineren läge 
aufserhalb der Linie KJ etwa in G, so 
ziehe JG und durch G und K die MH. 
Dann ist GJ = GD und KJ = KH 
Da nun KG -f GJ > KJ 
so ist KG + GD > KII