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2 Kiepert, Elliptische Integrale erster Gattung. 
glückt, ganze Geschlechter von solchen algebraischen Curven 
zu finden.*) 
§ 1. 
Bei allen diesen Curven hat der Modul einen singu 
lären Werth; man kann aber eine Schaar von derartigen 
Curven, die allerdings nicht algebraisch sind, finden, so 
dass zu jedem Modul des elliptischen Integrals eine be 
stimmte Curve -gehört. Diese Curven sind vollständig ge 
geben, wenn man die Bedingung hinzufügt, dass die Ab- 
scisse x gleichzeitig die Amplitude des elliptischen Integrals 
sein soll, denn wir haben dann die Curven definirt durch 
die Differentialgleichung 
(i.) dx 2 + dy* = -— 
y ’ 1 J 1 — k 2 sm 2 x 
oder 
7 0 k 2 sin 2 xdx 2 
dy - _ 1 _ k 2 sin 2x 
Zur Integration dieser Gleichung setzen wir, da k 
stets zwischen 0 und 1 liegt, 
2 
k = 
also 
ic — c v — m 
und 4cosx=\e—e \e— e / 
V -v 
\e-f-ß j d 
! + 
C — C \ 2 
4 \e e f 
x ) L. Kiepert, de curvis quarum arcus integralibus ellipticis 
primi generis exprimuntur. Berolini 1870. Ferner vergi. Ueber 
eine geometrische Anwendung der complexen Multiplication der 
ellipt. Functionen. Borchardt’s Journal Bd. 74 p. 005—314, und 
Curven, deren Bogen ein elliptisches Integral 1. Gattung ist. Bor 
chardt’s Journal Bd. 79 p. 304 — 323. 
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