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J 
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SP«; 
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Kiepert, über Minimalßächen. 
Der Kürze wegen setzen wir 
rfG(|) 
S'®, = J T = Ä© 
di di di 
und lassen in den Bezeichnungen das Argument (£) fort, so lange es 
reell ist. 
Damit die Fläche durch die gegebene Raumcurve hindurchgeht, 
setzen wir 
(31.) L 2 + M 2 = g, L 2 + Ml = 9i, iLM 1 — iL x M = h, 
dann werden die Gleichungen (1.) für 7] = 0 mit den Gleichungen (30.) 
identisch, d. h. die Gleichungen (1.) stellen eine Minimaliläche dar, auf 
welcher man für r] = 0 die gegebene Curve erhält. 
Zur vollständigen Bestimmung der Functionen L, M, L Xl M x aus den 
Gleichungen (31.) führen wir noch zwei conjugirt complexe Functionen P 
und P x ein durch die Gleichungen 
(32.) P = 2LM, P X = 2L X M X 
und erhalten 
(2 L = Yg + P+Yg-P, 2M = Yg + P- Yg-P, 
\ 2L x — Yg x + Fi+Ygi — Pi, 2M X — Yg^ + P\ — 1'gi — Pi- 
(33.) 
1, 2 M x 
Wenn hierbei die Wurzeln andere Zeichen erhielten, so änderten sich L 2 f 
M 2 , L\, M\ entweder gar nicht oder es würde V mit if 2 , und L\ mit M\ ver 
tauscht, und das Resultat würde dasselbe bleiben. 
Die Functionen P und P x sind nicht ganz willkürlich, sondern 
sie müssen, damit die Gleichungen (31.) bestehen, der Bedingung 
(34.) 4z h 2 (gg L + h 2 ) - 4 li 2 PP x + (gP x -g x P) 2 = 0 
genügen. Diese Gleichung ist aber reell und giebt deshalb nur eine Relation 
zwischen den beiden Functionen P und P x . Wir können daher P und P L 
noch auf unendlich viele Arten bestimmen, so dass die Bedingungsgleichung 
(34.) befriedigt wird. Die gesuchten Minimalflächen sind dann dargestellt 
durch die Gleichungen 
x-\-iy 
x — ty 
(35.) 
= i J[g(u) + Yg\u) - P\u)] du + 4 f [g(p) - Yg\v) - P\v)]dv, 
= ifgY u )~ Y gl («) - BK«)] du+l/'[gYv)+Ygl(v)-Pl(v)]dv, 
= ^J[Yg(u)4rP{u)+Y g{u) -P{u)] [Yg x (u)+P x (u)—YgYu)—P x (u)]du, 
-jJ[ Yg{v) +P{v) —Yg{v) -P(©)] [YgM+PYv) +YgYv)-P x {v)]dv.