Auflösung der Gleichungen fünften Grades*).
(Von Herrn L. Kiepert in Darmstadt.)
Herr Kronecker hat bei seinen ausgezeichneten Untersuchungen über
die Gleichungen fünften Grades gefunden* **), dass ihre Auflösung abhängt
von der Losung einer Gleichung sechsten Grades in f 2 , deren Wurzeln sich
durch Anwendung elliptischer Functionen explicite darstellen lassen. (Man
vergleiche auch die Abhandlung von Herrn Brioschi: Sul metodo di Kronecker
per la risoluzione delle equazioni di quinto grado. Milano 1858.)
Schon vor einigen Jahren machte mich Herr Weier strass darauf auf
merksam, dass diese Darstellung wahrscheinlich einfacher werde, wenn man
seine Function pu statt der Jacobmchen Bezeichnungen einführe, und ver-
anlasste mich auch zu Rechnungen, die aber damals nicht ganz den ge
wünschten Erfolg hatten.
Ich wurde zu diesem Probleme zurückgeführt, als Herr Klein im
Anschluss an seine Untersuchungen über das Ikosaeder, die später zu
sammengefasst in den mathematischen Annalen erschienen***), eine Notiz
in den Rendi conti f) veröffentlichte, in welcher er darauf aufmerksam macht,
dass die Gleichung, aus welcher Herr Kronecker bei seiner Methode den
Modul der elliptischen Function berechnete, im Wesentlichen von der
absoluten Invariante der elliptischen Function abhängt. Es gelang mir so
im Anschluss an meine früheren Rechnungen fast unmittelbar, die Formeln
für die Auflösung jener Gleichungen sechsten Grades für einen wichtigen
Specialfall (a = 0) zu finden, welche in §. 3 auseinander gesetzt sind.
Ich will hier gleich bemerken, dass inzwischen Herr Klein seinerseits
.*) Ein Auszug dieser Abhandlung findet sich in den Nachrichten der Göttinger
Ges. d. Wissensch. (Sitzung vom 6. Juli 1878 p. 424.) und in den Annali di Matematica,
Serie II a , Tomo IX U . p. 119.
**) Kronecker, Extrait d’une lettre à M. Hermite (Comptes rendus 1858, 6 Juin),
und Ueber Gleichungen fünften Grades (Monatsberichte d. Berliner Akademie* 1861
p. 609).
***) Klein, Weitere Untersuchungen über das Ikosaeder (Math. Annalen Band 12
p. 503—560).
f) Klein, Sul! equazioni del! Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del
quinto grado, 26 aprile 1877.