Kiepert, zur Transformationstheorie der elliptischen Functionen.
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§ 1.
cc
Entwickelung von /7(1 — K 2v ') n nach Potenzen von /¡ 2 .
V — 1
Setzt man
(3.) fl (1 -h , y = H a (»)-H 1 (n)lt‘+H 1 (n)h t -H,(n)lil , + - = 1 (-1 )'H,(n)h u ,
v=l x=C
so erkennt man zunächst ohne Weiteres, dass H x (n) eine ganze Function
j/ten Grades von n sein muss. Es ist nämlich, wenn man
n(n—\)(n—2 )...(« — >£ -f- j)
1.2.3.. .x
in der hergebrachten Weise mit (”) oder kürzer mit n y bezeichnet, n x eine
ganze Function % ten Grades von n, und man erhält
i (1— A 2 )” — 1 — nji 2 -t-n 2 h i —n 3 li i> -f {-(—1)*% A 2 *-|—,
^ ^ j (1 — A 4 )” = 1 — n x A 4 + A 8 —- A 12 -j—,
1(1 —A 2 *)” = l—nJi 2/ -\—.
Multiplicirt man diese Gleichungen mit einander, so wird der Coeffieient
von A 2 * auf der rechten Seite genau (—1 )*//„(»), denn in //(1—A 2, ') B haben
die Factoren (1—A 2ji+2 )”, (1—A 2ii+4 )”, ... keinen Einfluss mehr auf den Coef-
ficienten von A u . Aus dieser Bildung folgt also unmittelbar, dass H K (n)
eine ganze Function ^ ten Grades von n ist. Desshalb kann man H x (n) auf
die Form
(5.) H x (n) ~ Va> x -\n+a K
bringen, wobei a 1: « 2 , • • • rationale Functionen von ^ sind. Diese Dar
stellung von H x (n) ist aber noch nicht die zweekmässigste. Jede ganze
Function x ten Grades lässt sich nämlich auch als lineare Function von
x-\-l gegebenen Functionen * ten Grades ausdrücken, wenn diese von ein
ander linear unabhängig sind. Der Fall, wo diese gegebenen Functionen
wie in Gleichung (5.)
n y , n y ~ rx , ... n, ri ]
sind, ist nur ein specieller, und es wird sehr häufig von Nutzen sein, andere
Functionen, z. B, die Binomial-Coefficienten
»*_!, »*_ 2 , • • • »1, «ü
an ihre Stelle zu setzen. In dem vorliegenden Falle liegt es besonders
28 *
xx. wymuici, i neune uer vjDernacnen zweiter
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach
Jakob Steiners Principien auf synthetischem
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S.
gr. 8°. M. 16.
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist.
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft,
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche
Fortsetzung folgen lasse.
Hannover. L. Kiepert.