8 
Si signis 2 oj et 2 w' periodi fundamentales functionis ellipticae s = p u significantur, 
aequatio deducitur 
/ d \ 2 
\du** u ) = * (V u — e i) (V u ~ e >) (V u — e s) 
= 4 (pw) 3 — g^u — ff a , 
ubi 
p w = <?,, p (a; o/) = <? 2 , p cu' = e 3 , 
-f- = 0, =— 4 (<2>e 3 -f- -+- e 1 e 2 ), ^ 3 = 4e 1 e 2 e 3 . 
Simul cum functione pw alia quoque functio definita est aequationibus 
( d 2 lguw 
(3) 
\ cr(0) = 0, a' (0) = 1, <y"(0) = 0. 
Quae functio (7w non evanescit, nisi ponitur 
m = 2«<o + 2w' a/, 
ubi n et n sunt numeri integri, et transibit, argumento u aliqua periodo 2ww -f- 2n ca aucto, 
in se ipsam, addito factore exponentiali, cujus exponens est functio linearis argumenti u. Quae 
proprietates exprimuntur aequatione 
(4) a (u -f- 2neo 2n io) = (— 1 )"»'+*+*'«(2^+2«Y)(«+»«+»W) 
ubi 
u w , 
V — —, 
(7 w 
Uto 
Maxima utilitate functio <7 est in theoria functionum ellipticarum; omnes enim functiones 
(¡) (u) dupliciter periodicae functione c7 exprimi possunt duobus modis, quorum alter habet formam 
, A (7 (u — fr.) (7 (u — b 2 ) ... (7 (u br) 
(6) <D (u) = C e@ nT i+ 2n “ -4 4—y —4 7 4- 5 
v ’ (7 (u — a x ) 0 (u — a 2 ) ... a(u — a r ) 
ubi b 2 ... b r constituunt systema omnium valoram incongruorum argumenti, pro quibus 
functio </> (u) evanescit, et a x , a. 2 . . . a r systema omnium valorum incongruorum argumenti, pro 
quibus functio </> (te) est infinite magna. Inter quantitates b n b 2 ... b r aequales esse possunt, 
et ille valor b* est paties ponendus, si evolutio secundum potestates quantitatis (u—b\) 
incipit membro 
(u — . 
Neque minus inter quantitates a,, a 2 . . . a r quantitati a^ sunt aliae aequales, si 
evolutio secundum potestates quantitatis (u — a^) incipit membro 
(u — 
Exponentes p>, et numeri ordinis quantitatum b- h et a^ nominati sunt, n et n sunt 
numeri integri et definiuntur aequatione 
(7) 2b — d£a — 2no> -f- 2 n u)'. 
Altera explicatio functionis ( I> (u) haec est: Sint 
^1? ^2 • • • Cbv 
omnes valores incongrui et inter se differentes argumenti «, pro quibus ( D(u) fiat infinite magna 
et sint x 2 . . . x r 
numeri eorum ordinis, tum habemus 
i c/j (u) = 
(8) < *i d v d v * r d v 
)C'-\-^ v c\ v lgcr(w — a 1 )-{-^ v C2, v -r-^lg— «s)H- • • . -4--2V c r,v ® r )’ 
^ i au v i «m i t u u