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L. Kiepert. 
Dieser Umstand hielt mich mehrere Jahre hindurch davon zurück, 
weitere Untersuchungen auf diesem Gebiete zu veröffentlichen, bis es 
mir durch das Studium einer Arbeit: „Notiz über Modulargleichungen 
bei zusammengesetztem Transformationsgrad 11 von J. Gier st er (Math. 
Anualen, Bd. 14, S. 537 — 544) gelang, die augedeutete Schwierigkeit 
zu überwinden. 
Herr P. Klein hatte uämlich in seiner Abhandlung: „Ueber die 
Transformation der elliptischen Functionen und die Auflösung der 
Gleichungen fünften Grades u (Math. Annalen, Bd. 14, S. 111 — 172) 
statt der Modulargleichungen diejenigen Gleichungen untersucht, welche 
zwischen der absoluten Invariante 
t __ 9i = 9t 
- 27 g* A 
und der entsprechenden Grösse J' der transformirten Function be 
stehen. Dabei machte er die allerdings sehr wesentliche, dafür aber 
auch sehr nützliche Einschränkung, dass das Geschlecht dieser Glei 
chung gleich Null sei, was nur bei den Primzahlen 
2, 3, 5, 7, 13 
und bei den zusammengesetzten Zahlen 
4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 25 
der Fall ist. Man braucht nun bei dieser Einschränkung die J-Gleichung 
nicht selbst zu bilden, sondern J und J' werden rationale Functionen 
T(n) lcn Grades einer Hülfsgrösse t, welche sich durch functionen 
theoretische Betrachtungen leicht bilden lassen. Natürlich kann man 
diese Hülfsgrösse r noch durch eine lineare Function von x, nämlich 
durch ersetzen, dies ist aber die einzige Willkür, welcher x 
unterworfen ist. Vertauscht man in der x-Gleichung, d. h. in der 
Gleichung zwischen J und x, die Grössen J und x mit J' und x, so 
ist x eine lineare Function von x, so dass damit auch schon J' als 
rationale Function von x dargestellt ist. 
Herr Klein bildete nun die r-Gleichung für diejenigen Werthe 
von n, welche Primzahlen sind (ausserdem für n = 4) und fand, dass 
in allen diesen Fällen durch passende Verfügung über die Con- 
stanten a, ß, y, d 
x n ~i = 
gemacht werden kann, ein Umstand, welcher für die Verwendung 
meiner Hülfsgrösse f sehr günstig erschien*). 
*) In der That hat Herr Klein von hier ausgehend seinerseits eine all 
gemeine Theorie der /'-Gleichungen (die er Multiplicatorgleichungen erster Stufe 
nennt) in Untersuchung gezogen [vergl. die Mittheilung im 15. Bande der mathem. 
Annalen, Seite 86—88]. Ich nenne hier auch sogleich die Abhandlung im 18. Bande