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L. Kiepert.
P («O ; P (Ä i P (*““ 4 Wirf.) ,
p («fr,/■*')> pßwi',?')* • • • p(h x ~ lw 3.,ii)t
keine zwei einander gleich sind. Da nun (wenn man von dem Palle
n = 2 absieht) x auch sicher ein Theiler von ~cp(n)T(ri) ist, so wird
(7) ~ cp {n) T(n) = N
eine ganze Zahl, und
(8) *(C V + Cr,? + • • •) =2
wo die Summe auf der linken Seite N Glieder enthält, während die
Summe auf der rechten Seite über die sämmtlichen Theilwerthe des
reducirten Systems zu erstrecken ist.
Da für jede beliebige Potenz der Grössen Cr, ri ', . . . ähnliche
Schlüsse gelten, so wird für jeden ganzzahligen Werth von r
C[ ifl -f- Gx',fi' -[-•*'•
eine symmetrische Function der Theilwerthe des reducirten Systems
und somit nach Satz IV eine rationale Function von g 2 und g. A . Dies
giebt den Satz:
V. Ist Cx,/* eine cyklische Function von p(wx jfl ), p(kwx,ff), • ■ •
p (/e*“ 1 wx,ia) , wo x die kleinste Zahl ist, für welche k x = + 1 (■mod. n)
ist, so wird Cx,n die Wurzel einer Gleichung N ten Grades, deren Coeffi-
cienten rationale Functionen von g 2 und g 3 sind. Eine solche Gleichung
heisse ,,Resolvente u der reducirten Theilungsgleichung.
So ist z. ß. für n — 14
(p(n) = 6, T(n) = 24, y cp(n) T(n) = 72;
das reducirte System der Theilwerthe besteht daher hier aus den
72 Grössen
(f).
/ 3co \
K—h
»(
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■
( co’ -f- reo ^
( 3 co' —3 i’ oo
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' 9 co' -¡- 9 reo \
, (r = 0,1,2,--13!,
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^ 2 w' -j- S co ^
^ ^ 6 00-\- 3 s co
). »>(
' 18co T" 9sco ^
, (»—1,3,5,7,9,11,13),
^ 7co' -f- tco ^
^|<21co'4-3ico '
)» p(
f 63 co —J— 9t co ^
; (¿=1,2)
und jede cyklische Function von ^ ^ie
Wurzel einer Gleichung 24 ten Grades, deren Coefficienten rationcde
Functionen von g 2 und g 3 sind.