412 L. Kiepert. 
Wenn man also die Gleichung (99) zwischen den Grenzen 0 und 
2 co integrirt, so erhält man 
1 p'ni 1 l i 
(l) 2« 8. (-ff, 
oder 
cos) iß?)- 
In ähnlicher Weise findet man 
(p'+C))7ti 
12 
Zuriickführung auf Gauss’sche Summen. 
Aus der Gleichung (104) erkennt man noch nicht unmittelbar, 
dass q eine 24 le Wurzel der Einheit ist; deshalb soll jetzt eine Um 
formung des Ausdruckes für q vorgenommen werden, welche auf 
Gauss’sche Summen führt. 
Der Kürze wegen sei 
[(6 *'+!)'? +12» 2+12 v-\- 2] 
— f (6 v-fl) 2 q'—12 v 2—12 v— 2] 
(108) G(v) = e' 
dann geht Gleichung (104) über in 
/ \ {p—3q)ni 2—1 
(104 a) *>(£w) = W * 125 2 C^’W + G (»)]• 
Nun wird aber 
~~ [(öjti-J-l) 2H -3 » 2+2+1] — [(6 v+1 )2'+3 fi 2 '+2 + • ] 
(109) F(n~\-v) = F(fi)e q —rvY„.\„ v 
(110) G(g-\-v)—G(ii)e 
[( ti i u +l)9'+ 3 vq' — q—l] 
— G-(v)e 
[6 r+1) 2'+ 3 p q — q—l] 
Für fi = q folgt hieraus, weil (q -j- 1) (q -j- 1) immer eine gerade Zahl 
sein muss, 
(111) F{v + q) = F(v), G(v + q)~G(v). 
In Gleichung (104a) darf also v ein beliebiges Restsystem von q durch 
laufen. 
Jetzt sind je nach den Werthen von q und q vier Hauptfälle zu 
unterscheiden.