also 
Zur Theorie der elliptischen Functionen 
I. Hauptfall: q = 3| -f- 1. 
Wenn q = 3£ -f- 1 ist, so wird 
6r(g — v) = F(y) e 
5-1 
7Í t 
___ 
^ [i» + <?(v)] = ^ + ö(| - *)], 
v = 0 
oder 
o_l / 7t i\ q—1 _ Tt A 9~ 1 
V №) + ®W] = U + V 2 F M = e V3 2 F M • 
n n 
r —0 
also 
3 g -f- 1 \ 1^ 
\p> 2' ) n 
(112) v q J y- 
Setzt man jetzt in herkömmlicher Weise 
71—1 
2 
(p—5q)Tti q—1 
2 FM- 
¿7 
12 q 
v = 0 
n—1 2v 1 m7ti 
(113) 
cp[m, »],*) 
so sind schon von Gauss in seiner Abhandlung: Summatio quarun- 
darutn serierum singularium (ges. Werke, ßd. 2, S. 11) die Werthe 
dieser Summen angegeben. Auf solche Gauss’sehe Summen kann 
man nun ^ F(v) zurückführen, doch muss man unterscheiden, ob q 
r=0 
gerade oder ungerade ist. 
I a . Ist q — 6 a -j- 1, so setze man 
(114) fi = a(p-f- 1) (q + 1) = 2a(da + 1) (p + 1), 
so dass g sicher eine durch 4 theilbare Zahl ist. Es wird dann 
6^ + 1 = + 1) ~ P, 
(6g + 1) q + q + 1 = q\kP + 1) 22' — P' + 1] 
= 2[2 2 — i) v + (2 + i) (2' + i) — q], 
also 
(6g + 1) q + 2 + 1''= — 22 (mod. 2q). 
Deshalb ist 
v (3 vq'—qq) 7t i 
- [(6p+l) 9’+g+l+3 v g'] 
= e 
oder, wenn man mit 
19 6 
stehen werde, 
indre in Ver- 
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Zum grofsen 
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*) Dieser Ausdruck qp[»i,w] ist nicht zu verwechseln mit der in Gleichung 
(94) definirten Function cp(u, 4), welche in dem Folgenden gar nicht mehr be 
nutzt wird. 
■M 
Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin 1832), dass 
zwischen dem 
von Herrn 
ifl. Hannover 
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den und Be- 
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Jetrachtungen. 
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Hyperboloid, 
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\ Jen Stoffes sehr 
^ A. l? o ol auch zuzu 
schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert. 
(i'H)