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L. Kiepert.
Es braucht wohl kaum erwähnt zu werden, dass auch hier die
¿-Gleichung nur der Kürze wegen statt der /-Gleichung benutzt ist,
in welche sie durch die Substitutionen
übergeht.
§ 23.
Reduction der /’-Gleichung, wenn n ein Quadrat von der Form 6Z + 1 ist.
Die /’-Gleichung, oder, was auf dasselbe hinauskommt, die ¿-Glei
chung reducirt sich wesentlich, wenn n ein Quadrat von der Form
61 -f- 1 ist. Es lässt sich dann nämlich zeigen, dass nicht nur
sondern schon f selbst die Wurzel einer Gleichung T(n) ten Grades ist,
deren Coefficienten rationale Functionen von g 2 und sind.
Es sei zunächst n gleich a 2 und a — 2t -j- 1 eine Primzahl; ferner
sei g in Bezug auf den Modul n eine primitive Wurzel, so dass
wird. Bildet man jetzt den Ausdruck
so wird nach Gleichung (47) y gleich + f\ denn die Grössen p\
bei denen a den Factor a nicht enthält, während die Grössen p
durch a theilbar ist oder nicht.
Da nun p(2u), f(gu) } p(au), rationale Functionen von
5? ^
pu sind, und da im Nenner von y die Anzahl der Factoren gleich
at -\- r gleich {a + l)r gleich 2t(t -f- 1) immer gerade ist, so ist y
sicher eine rationale Function von
■KoaHMHi