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Fig. 2. 
um den Punkt A beschrieben ist; kennt man den Winkel x, so liegt P 
auf einem Kreise, der Uber der Sehne B C den 
Peripheriewinkel x fasst. (Fig. 2.) 
Da diese beiden Kreise den Punkt P gemein 
haben sollen, so müssen sie sich entweder schneiden 
oder berühren. Es lässt sich aber sehr leicht zeigen, 
dass der Ausdruck K nur dann ein Minimum sein 
kann, wenn sich die Kreise berühren. 
Hätten nämlich die beiden Kreise zwei Punkte 
p und Q gemeinsam (Fig. 2.), so könnte man die 
A 
Grösse — sofort verkleinern, indem man den Punkt P nach dem 
sin {x — a) 
Punkte H verlegte, in welchem die Centrallinie A R der beiden Kreise 
den Kreis um R trifft. 
Bezeichnet man also mit R, S, T die Mittelpunkte der drei Kreise, 
welche bez. durch die Punkte B, C und P; durch C, A und P; durch 
J_ B und P hindurchgehen, so muss P in gerader Linie liegen mit A 
und R, ebenso mit B und S und endlich auch mit C und T, d. h. die 
drei geraden Linien A R, B S, C T müssen sich im Punkte P schneiden. 
(Fig. 3.) 
Jetzt sind die gleichschenkligen Fi s- 3 - 
Dreiecke ASP und BRP einander / 
ähnlich, weil ihre Basiswinkel bei P 
Scheitelwinkel sind. Deshalb sind 
die Centriwinkel 
ASP und BRP 
einander gleich, folglich auch die 
Peripheriewinkel 
ACP und BCP, 
die bez. auf denselben Bögen AP 
und PP stehen, d. h. die Gerade CP 
lialbirt den Dreieckswinkel y. 
Ebenso halbiren die Geraden 
AP und BP die Dreieckswinkel oc 
und ß; der Punkt P ist also der 
Mittelpunkt des dem Dreieck ein 
geschriebenen Kreises. 
Liegt P in dem Mittelpunkte eines der drei Kreise, welche dem 
Dreieck angeschrieben sind, und nennt man die Mittelpunkte der Kreise, 
welche bez. durch B, C und P, durch C, A und P, durch A, B und 
P gehen, wieder P, S, T, so ist P auch liier der Schnittpunkt der drei 
geraden Linien AR, BS und CT; es kommt ihm aber nicht mehr die 
Eigenschaft des Minimums zu, weil sich die Kreise um A und R, um B 
und S, um C und T paarweise einschliessend berühren. 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.