Ueber die Transformation der elliptischen Functionen bei 
zusammengesetztem Transformationsgrade. 
Von 
L. Kiepert in Hannover. 
Bei den Untersuchungen über Transformation der elliptischen 
Functionen hat man sich, was die wirkliche Ausführung der Rech 
nungen betrifft, bisher meist auf den Fall beschränkt, wo der Trans 
formationsgrad n eine Primzahl ist. Man unterliess es, die zusammen 
gesetzten Zahlen noch besonders zu behandeln, weil man im Allgemeinen 
eine Transformation vom Grade ah erhält, indem man zuerst eine 
Transformation a Um Grades und dann eine Transformation h ten Grades 
ausführt. 
Ausserdem häufen sich bei den bisher gebräuchlichen Methoden 
die Schwierigkeiten, welche die Ausführung der numerischen Rech 
nungen bietet, ungemein, wenn n eine zusammengesetzte Zahl ist, 
weil dann der Grad der Modulargleichungen noch schneller wächst als 
der Transformationsgrad. So ist z. ß. für n = 30 bei Anwendung der 
Jacobi'sehen Bezeichnungen der Grad der Modulargleichung zwischen 
u und v in Bezug auf jede dieser beiden Veränderlichen gleich 
(2+1) (3+1) (5+1) = 72. 
Trotzdem ist diese Beschränkung des Transformationsproblems auf 
Primzahlen eine schädliche gewesen, denn erstens gewinnen die alge 
braischen Beziehungen, welche bei dieser Aufgabe auftreten, erhöhtes 
Interesse, wenn man zusammengesetzte Wertlie von n berücksichtigt, 
und zweitens gewähren diese algebraischen Beziehungen auch Mittel, 
um die Rechnungen, welche für die Transformation vom Grade ah 
nothwendig sind, wesentlich einfacher zu gestalten als bei dem oben 
angedeuteten schrittweisen Vorgehen. Diese Mittel sollen in der hier 
folgenden Abhandlung angegeben werden. 
Es besteht nämlich zwischen der absoluten Invariante J*) der 
*) Die Bezeichnung J ist von Herrn Klein in seiner Abhandlung: „Ueber die 
Transformation der elliptischen Functionen und die Auflösung der Gleichungen 
fünften Grades“ (Math. Annalen, Baud XIV, S. 111—172) eingeführt worden. 
Dabei ist 
J== & 3 
92 3 ^7 g 3 2 
wo g t und g 3 die von Herrn Weierstrass benutzten Invarianten sind. 
Mathematische Annalen. XXXII. 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.