gegebenen elliptischen Function und der absoluten Invariante J der 
transformirten Function eine Gleichung, deren Rang*) q leicht bestimmt 
werden kann und im Verhältnis zum Grade dieser Gleichung klein 
ist. Deshalb giebt es nach bekannten Sätzen aus der Algebra Hülfs- 
grössen £, welche dem Rationalitätsbereiche (J, J) angehören (d. h. 
welche rationale Functionen von J und J sind), und die Eigenschaft 
besitzen, dass die Gleichungen 
(1) F(l,J)= 0 ™d F 1 (i,J) = 0, 
welche zwischen | und J, bez. zwischen £ und J bestehen, in Bezug 
auf J und J von niedrigerem Grade sind als die Gleichung zwischen 
J und J. 
In den Fällen, wo q — 0 ist, d. h. in den Fällen, wo n eine der 
Primzahlen 
2, 3, 5, 7, 13, 
oder eine der zusammengesetzten Zahlen 
4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 25 
ist, kann man sogar J und J als rationale Functionen einer solchen 
Hülfsgrösse £ darstellen, und zwar fanden Herr Klein in der oben 
erwähnten Abhandlung und Herr Gierster in einer daran anschliessen 
den „Notiz über Modulargleichungen bei zusammengesetztem Trans- 
formationsgrade“ (Math. Annalen, Band XIV, S. 537—544) eine solche 
Darstellung auf rein algebraischem Wege. 
Eine Verallgemeinerung dieses Verfahrens für die Fälle, in denen 
der Rang q = 1 ist, lag sehr nahe. Da giebt es solche Hülfsgrössen 
£, für welche die Gleichungen (1) in Bezug auf J und J nur noch 
vom zweiten Grade sind. Die Auflösung der Gleichung (1) liefert 
dann eine Darstellung von J und J als rationale Functionen von § und 
von einer Quadratwurzel aus einer Function dritten oder vierten Grades 
von £. Die Versuche aber, eine solche Hülfsgrösse | auf rein alge 
braischem Wege zu finden, waren trotz der eifrigsten Bemühungen 
ganz vergeblich. Erst durch Mittel, welche die Theorie der elliptischen 
Functionen selbst bietet, ist es mir gelungen, diese Aufgabe für 
q= 1, und ebenso die grösseren Werthen von p entsprechende Auf 
gabe zu lösen**). 
*) Die Bezeichnung „Rang 11 rührt von Herrn Weierstrass her und ist 
gleichbedeutend mit dem Ausdruck ,,Geschlecht“, den Clebsch einführte. Die 
Zahl p hat hier also denselben Werth wie bei Riemann die Zahl p. 
**) Die zahlreichen weiteren Arbeiten, welche Herr Klein und seine Schüler 
über Transformation der elliptischen Functionen veröffentlicht haben (vergl. ins 
besondere das Referat in Bd. ‘26 dieser Annalen, S. 455—464), kommen für diese 
Entwicklungen nicht unmittelbar in Betracht, insofern es sich in ihnen nur ganz