Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
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(17) 
T 
cp (n) = n (l - |) (l -1) (l - y) 
^W-»(i + -5-)(i + t) ( l + l) 
ferner sei wieder 
(18) 
w 
= 
2 X co -f- 2 am' 
wobei die beiden ganzen Zahlen /1 und ¿a keinen Factor gemein haben 
sollen, der auch ein Factor von n ist, dann gilt bekanntlich der Satz: 
I. Ist S eine symmetrische Function der y cp (n) Grössen p(lw), 
ivo l alle Werthe annimmt, welche m n relativ prim und Heiner sind 
als y, so ist S die Wurzel einer Gleichung T(n) ten Grades, deren Coef- 
ficienten rationale Functionen von g 2 und g 3 sind. 
Der Satz hat nur einen Sinn, wenn n von 2 verschieden ist, und 
kann dann bewiesen werden, wie folgt: 
Da l relativ prim ist zu n, so gehören die Grössen p(lw) sämmt- 
lich zu dem reducirten System der Theilwerthe von p (u) (vergl. § 2 
m. vor. Abh.); ihre Anzahl ist daher ~ cp(n). Dieselben Theilwerthe, 
nur in anderer Aufeinanderfolge, erhält man, indem man w mit mw 
vertauscht, wenn m zu n relativ prim ist. Es sind nämlich die y<p(n) 
Theilwerthe p(lmw) sämmtlich von einander verschieden, weil aus 
p(l t mw) = p (l 2 m w) 
folgen würde, dass 
l x mw + l 2 mw — mwil^l^ = 2pa -f- 2gcd 
eine ganze Periode wäre. Dies ist aber nur möglich, wenn l { -f- l 2 
durch n theilbar ist, d. h. wenn 
P{lt «0 = &(k w ). 
Sind die ganzen Zahlen l und m gegeben, so kann man aber immer 
eine ganze Zahl l x , welche kleiner als y ist, so bestimmen, dass 
l { m + l = 0 (mod. n) 
und deshalb 
p(l x mw) = p(lw) 
wird. Da nun p(lu) eine rationale Function von p(u) ist, so kann 
S auch als eine rationale Function von p(w) allein dargestellt werden. 
Deshalb ist 
S = B(p{w)) 
sicher die Wurzel einer Gleichung 
(19) 
F(S,g 2 ,g,)^0, 
l 
296 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.